Wenn Sie ein Quadrat nehmen und zwei diagonale Linien zeichnen, würden sie sich in der Mitte kreuzen und vier rechtwinklige Dreiecke bilden. Die beiden Diagonalen kreuzen sich bei 90 Grad. Sie könnten intuitiv erraten, dass sich zwei Diagonalen eines Würfels, die jeweils von einer Ecke des Würfels zu seiner gegenüberliegenden Ecke verlaufen und sich in der Mitte kreuzen, auch im rechten Winkel kreuzen würden. Sie würden sich irren. Es ist etwas komplizierter, den Winkel zu bestimmen, in dem sich zwei Diagonalen in einem Würfel kreuzen, als es auf den ersten Blick erscheinen mag, aber es ist eine gute Übung, die Prinzipien von Geometrie und Trigonometrie zu verstehen.
Definieren Sie die Länge einer Kante als eine Einheit. Per Definition hat jede Kante des Würfels eine identische Länge von einer Einheit.
Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Länge einer Diagonale zu bestimmen, die von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke auf derselben Fläche verläuft. Nennen Sie dies aus Gründen der Übersichtlichkeit eine "kurze Diagonale". Jede Seite des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks ist eine Einheit, daher muss die Diagonale gleich √2 sein.
Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Länge einer Diagonale zu bestimmen, die von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke der gegenüberliegenden Fläche verläuft. Nennen Sie dies eine "lange Diagonale". Sie haben ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Seite, die 1 Einheit entspricht, und einer Seite, die einer "kurzen Diagonale" entspricht, √2 Einheiten. Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der Seiten, daher muss die Hypotenuse √3 sein. Jede Diagonale, die von einer Ecke des Würfels zur gegenüberliegenden Ecke verläuft, ist √3 Einheiten lang.
Zeichnen Sie ein Rechteck, um zwei lange Diagonalen darzustellen, die sich in der Mitte des Würfels kreuzen. Sie möchten den Winkel ihrer Schnittmenge ermitteln. Dieses Rechteck ist 1 Einheit hoch und √2 Einheiten breit. Die langen Diagonalen teilen sich in der Mitte dieses Rechtecks und bilden zwei verschiedene Arten von Dreiecken. Eines dieser Dreiecke hat eine Seite, die einer Einheit entspricht, und zwei andere Seiten, die √3 / 2 entsprechen (eine Hälfte der Länge einer langen Diagonale). Die andere Seite hat ebenfalls zwei Seiten, die gleich √3 / 2 sind, aber die andere Seite ist gleich √2. Sie müssen nur eines der Dreiecke analysieren, nehmen Sie also das erste und lösen Sie nach dem unbekannten Winkel.
Verwenden Sie die trigonometrische Formel c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab cos C, um nach dem unbekannten Winkel dieses Dreiecks zu suchen. C = 1 und sowohl a als auch b sind gleich √3 / 2. Wenn Sie diese Werte in die Gleichung einfügen, stellen Sie fest, dass der Cosinus Ihres unbekannten Winkels 1/3 beträgt. Nehmen wir den inversen Cosinus von 1/3, ergibt sich ein Winkel von 70,5 Grad.