Euklidischer Abstand ist der Abstand zwischen zwei Punkten im euklidischen Raum. Der euklidische Raum wurde ursprünglich vom griechischen Mathematiker Euklid um 300 v.Chr. die Beziehungen zwischen Winkeln und Entfernungen zu studieren. Dieses Geometriesystem wird bis heute verwendet und ist dasjenige, das Schüler am häufigsten lernen. Die euklidische Geometrie gilt speziell für Räume mit zwei und drei Dimensionen. Es kann jedoch leicht auf Dimensionen höherer Ordnung verallgemeinert werden.
Berechnen Sie den euklidischen Abstand für eine Dimension. Der Abstand zwischen zwei Punkten in einer Dimension ist einfach der absolute Wert der Differenz zwischen ihren Koordinaten. Mathematisch ist dies als | p1 - q1 | gezeigt Dabei ist p1 die erste Koordinate des ersten Punkts und q1 die erste Koordinate des zweiten Punkts. Wir verwenden den absoluten Wert dieser Differenz, da der Abstand normalerweise nur einen nicht negativen Wert hat.
Nehmen Sie zwei Punkte P und Q im zweidimensionalen euklidischen Raum. Wir werden P mit den Koordinaten (p1, p2) und Q mit den Koordinaten (q1, q2) beschreiben. Konstruieren Sie nun ein Liniensegment mit den Endpunkten von P und Q. Dieses Liniensegment bildet die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. In Erweiterung der in Schritt 1 erhaltenen Ergebnisse stellen wir fest, dass die Längen der Schenkel dieses Dreiecks durch | p1 - q1 | gegeben sind und | p2 - q2 |. Der Abstand zwischen den beiden Punkten wird dann als Länge der Hypotenuse angegeben.
Verwenden Sie den Satz von Pythagoras, um die Länge der Hypotenuse in Schritt 2 zu bestimmen. Dieser Satz besagt, dass c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ist, wobei c die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist und a, b die Länge der anderen sind zwei Beine. Dies ergibt c = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ (1/2) = ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2). Der Abstand zwischen 2 Punkten P = (p1, p2) und Q = (q1, q2) im zweidimensionalen Raum beträgt daher ((p1 - q1) ^ 2 + (p2 - q2) ^ 2) ^ (1/2).
Erweitern Sie die Ergebnisse von Schritt 3 auf den dreidimensionalen Raum. Der Abstand zwischen den Punkten P = (p1, p2, p3) und Q = (q1, q2, q3) kann dann gegeben werden als ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + (p3-q3) ^ 2) ^ (1/2).
Verallgemeinern Sie die Lösung in Schritt 4 für den Abstand zwischen zwei Punkten P = (p1, p2, ..., pn) und Q = (q1, q2, ..., qn) in n Dimensionen. Diese allgemeine Lösung kann als ((p1-q1) ^ 2 + (p2-q2) ^ 2 + ... + (pn-qn) ^ 2) ^ (1/2) angegeben werden.