Inhalt
- TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
- Definiert: Funktionszeitraum
- Sinus und Cosinus
- Die Tangensfunktion
- Sekant, Cosecant und Cotangent
- Periodenvervielfacher und andere Faktoren
Wenn Sie trigonometrische Funktionen grafisch darstellen, stellen Sie fest, dass sie periodisch sind. Das heißt, sie produzieren Ergebnisse, die sich vorhersehbar wiederholen. Um die Periode einer bestimmten Funktion zu ermitteln, müssen Sie mit jeder Funktion vertraut sein und wissen, wie sich Schwankungen in ihrer Verwendung auf die Periode auswirken. Sobald Sie erkennen, wie sie funktionieren, können Sie Triggerfunktionen auswählen und die Periode problemlos finden.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Die Periode der Sinus- und Cosinusfunktionen beträgt 2π (pi) Radianten oder 360 Grad.Für die Tangensfunktion beträgt die Periode π Radianten oder 180 Grad.
Definiert: Funktionszeitraum
Wenn Sie sie in einem Diagramm darstellen, erzeugen die trigonometrischen Funktionen sich regelmäßig wiederholende Wellenformen. Wie jede Welle haben die Formen erkennbare Merkmale wie Spitzen (hohe Punkte) und Täler (niedrige Punkte). Die Periode gibt den Winkel- „Abstand“ eines vollständigen Wellenzyklus an, der normalerweise zwischen zwei benachbarten Spitzen oder Tälern gemessen wird. Aus diesem Grund messen Sie in der Mathematik die Periode einer Funktion in Winkeleinheiten. Beispielsweise erzeugt die Sinusfunktion ab einem Winkel von Null eine glatte Kurve, die bei π / 2 Radiant (90 Grad) auf ein Maximum von 1 ansteigt, bei π Radiant (180 Grad) Null kreuzt und auf ein Minimum von - abfällt. 1 bei 3π / 2 Radianten (270 Grad) und erreicht wieder Null bei 2π Radianten (360 Grad). Nach diesem Punkt wiederholt sich der Zyklus auf unbestimmte Zeit und erzeugt dieselben Merkmale und Werte, wenn der Winkel positiv zunimmt X Richtung.
Sinus und Cosinus
Die Sinus- und Cosinusfunktionen haben beide eine Periode von 2π Radianten. Die Kosinusfunktion ist dem Sinus sehr ähnlich, mit der Ausnahme, dass sie dem Sinus um π / 2 Bogenmaß voraus ist. Die Sinusfunktion nimmt den Wert Null bei null Grad an, wobei der Cosinus am selben Punkt 1 ist.
Die Tangensfunktion
Sie erhalten die Tangensfunktion, indem Sie Sinus durch Cosinus teilen. Seine Periode beträgt π Bogenmaß oder 180 Grad. Der Graph der Tangente (X) ist Null bei Winkel Null, krümmt sich nach oben, erreicht 1 bei π / 4 Radianten (45 Grad) und krümmt sich dann wieder nach oben, wo er bei π / 2 Radianten einen durch Null teilenden Punkt erreicht. Die Funktion wird dann negativ unendlich und zeichnet ein Spiegelbild unter dem y Achse und erreicht −1 bei 3π / 4 Radianten und kreuzt die y Achse bei π Bogenmaß. Obwohl es hat X Werte, bei denen es undefiniert wird, hat die Tangensfunktion noch eine definierbare Periode.
Sekant, Cosecant und Cotangent
Die drei anderen Triggerfunktionen, Cosecant, Secant und Cotangent, sind die Kehrwerte von Sinus, Cosinus und Tangens. Mit anderen Worten, Cosecant (X) ist 1 / sin (X), Sekant (X) = 1 / cos (X) und Kinderbett (X) = 1 / tan (X). Obwohl ihre Graphen undefinierte Punkte haben, sind die Perioden für jede dieser Funktionen dieselben wie für Sinus, Cosinus und Tangens.
Periodenvervielfacher und andere Faktoren
Durch Multiplikation der X In einer trigonometrischen Funktion können Sie die Periode durch eine Konstante verkürzen oder verlängern. Zum Beispiel ist für die Funktion sin (2_x_) die Periode die Hälfte ihres normalen Wertes, weil das Argument X ist verdoppelt. Es erreicht sein erstes Maximum bei π / 4 Radianten anstelle von π / 2 und schließt einen vollständigen Zyklus in π Radianten ab. Andere Faktoren, die Sie häufig bei Triggerfunktionen sehen, sind Änderungen der Phase und der Amplitude, wobei die Phase eine Änderung des Startpunkts im Diagramm beschreibt und die Amplitude der maximale oder minimale Wert der Funktion ist, wobei das negative Vorzeichen im Minimum ignoriert wird. Der Ausdruck 4 × sin (2_x_ + π) erreicht zum Beispiel aufgrund des 4-Multiplikators maximal 4 und beginnt mit einer Abwärtskrümmung anstelle einer Aufwärtskrümmung aufgrund der zur Periode hinzugefügten π-Konstante. Beachten Sie, dass weder die 4-Konstante noch die π-Konstante die Periodendauer der Funktion beeinflussen, sondern nur den Startpunkt sowie die Maximal- und Minimalwerte.