So vereinfachen Sie komplexe Zahlen

Inhalt

• TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
• Was ist eine komplexe Zahl?
• Grundregeln für die Algebra mit komplexen Zahlen
• Komplexe Zahlen teilen
• Komplexe Zahlen vereinfachen

Algebra beinhaltet oft das Vereinfachen von Ausdrücken, aber einige Ausdrücke sind verwirrender als andere. Bei komplexen Zahlen handelt es sich um die Menge, die als bekannt ist ich, eine "imaginäre" Zahl mit der Eigenschaft ich = √ − 1. Wenn Sie nur einen Ausdruck mit einer komplexen Zahl benötigen, mag dies entmutigend erscheinen, aber nach dem Erlernen der Grundregeln ist es ein ziemlich einfacher Vorgang.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Vereinfachen Sie komplexe Zahlen, indem Sie den Regeln der Algebra mit komplexen Zahlen folgen.

Was ist eine komplexe Zahl?

Komplexe Zahlen definieren sich durch die Einbeziehung der ich Begriff, der die Quadratwurzel von minus eins ist. In der Mathematik der Grundstufe existieren Quadratwurzeln negativer Zahlen nicht wirklich, aber sie tauchen gelegentlich in Algebraproblemen auf. Die allgemeine Form für eine komplexe Zahl zeigt ihre Struktur:

z = ein + bi

Wo z beschriftet die komplexe Zahl, ein stellt eine beliebige Zahl dar (als "realer" Teil bezeichnet), und b stellt eine andere Zahl dar (als "Imaginärteil" bezeichnet), die sowohl positiv als auch negativ sein kann. Eine beispielhafte komplexe Zahl ist also:

z = 2 −4_i_

Da alle Quadratwurzeln von negativen Zahlen durch Vielfache von dargestellt werden können ichDies ist die Form für alle komplexen Zahlen. Technisch gesehen beschreibt eine reguläre Zahl nur einen Sonderfall einer komplexen Zahl, bei der b = 0, daher können alle Zahlen als komplex angesehen werden.

Grundregeln für die Algebra mit komplexen Zahlen

Um komplexe Zahlen zu addieren und zu subtrahieren, addieren oder subtrahieren Sie einfach den Realteil und den Imaginärteil getrennt. Also für komplexe Zahlen z = 2 - 4_i_ und w = 3 + 5_i_, die Summe ist:

z + w = (2 - 4_i_) + (3 + 5_i_)

=(2 + 3) + (−4 + 5)ich

= 5 + 1_i_ = 5 + ich

Das Subtrahieren der Zahlen funktioniert auf dieselbe Weise:

z − w = (2 - 4_i_) - (3 + 5_i_)

= (2 − 3) + (−4 − 5)ich

= −1 - 9_i_

Die Multiplikation ist eine weitere einfache Operation mit komplexen Zahlen, da sie wie die gewöhnliche Multiplikation funktioniert, außer dass Sie sich daran erinnern müssen ich² = −1. So berechnen Sie 3_i_ × −4_i_:

3_i_ × −4_i_ = −12_i_²

Aber seit ich²= −1, dann:

−12_i_² = −12 ×−1 = 12

Mit vollständigen komplexen Zahlen (mit z = 2 - 4_i_ und w = 3 + 5_i_ wieder), multiplizieren Sie sie auf die gleiche Weise wie mit gewöhnlichen Zahlen wie (ein + b) (c + d), unter Verwendung der Methode "first, inner, outer, last" (FOIL), um (ein + b) (c + d) = ac + bc + Anzeige + bd. Alles, woran Sie sich erinnern müssen, ist die Vereinfachung von ich². Also zum Beispiel:

z × w = (2 - 4_i _) (3 + 5_i_)

= (2 × 3) + (–4_i_ × 3) + (2 × 5_i_) + (–4_i_ × 5_i_)

= 6 - 12_i_ + 10_i_ - 20_i_²

= 6 - 2_i_ + 20 = 26 + 2_i_

Komplexe Zahlen teilen

Das Teilen komplexer Zahlen beinhaltet das Multiplizieren des Zählers und Nenners des Bruchs mit dem komplexen Konjugat des Nenners. Das komplexe Konjugat bedeutet nur die Version der komplexen Zahl, wobei der Imaginärteil im Vorzeichen umgekehrt ist. So für z = 2 - 4_i_, das komplexe Konjugat z = 2 + 4_i_ und für w = 3 + 5_i_, w = 3 - 5_i_. Für das Problem:

z / w = (2 - 4_i_) / (3 + 5_i_)

Das benötigte Konjugat ist w*. Teilen Sie den Zähler und den Nenner, um Folgendes zu erhalten:

z / w = (2 - 4_i_) (3 - 5_i_) / (3 + 5_i_) (3 - 5_i_)

Und dann arbeiten Sie wie im vorherigen Abschnitt durch. Der Zähler gibt:

(2 - 4_i_) (3 - 5_i_) = 6 - 12_i_ - 10_i_ + 20_i_²

= −14 - 22_i_

Und der Nenner gibt:

(3 + 5_i _) (3 - 5_i_) = 9 + 15_i_ - 15_i_ −25_i_²

= 9 + 25 = 34

Das heisst:

z / w = (-14 - 22_i_) / 34

= –14/34 - 22_i_ / 34

= -7/17 - 11_i_ / 17

Komplexe Zahlen vereinfachen

Verwenden Sie die obigen Regeln nach Bedarf, um komplexe Ausdrücke zu vereinfachen. Zum Beispiel:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - ich)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ich))

Dies kann vereinfacht werden, indem die Additionsregel im Zähler und die Multiplikationsregel im Nenner verwendet werden und dann die Division abgeschlossen wird. Für den Zähler:

(4 + 2_i_) + (2 - ich) = 6 + ich

Für den Nenner:

(2 + 2_i _) (2+ ich) = 4 + 4_i_ + 2_i_ + 2_i_²

= (4 - 2) + 6_i_

= 2 + 6_i_

Wenn Sie diese wieder einsetzen, erhalten Sie:

z = (6 + ich) / (2 + 6_i_)

Das Multiplizieren beider Teile mit dem Konjugat des Nenners führt zu:

z = (6 + ich) (2 - 6_i_) / (2 + 6_i_) (2 - 6_i_)

= (12 + 2_i_ - 36_i_ - 6_i_²) / (4 + 12_i_ - 12_i_ −36_i_²)

= (18 - 34_i_) / 40

= (9 - 17_i_) / 20

= 9/20 - 17_i_ / 20

Das heißt also z vereinfacht sich wie folgt:

z = ((4 + 2_i_) + (2 - ich)) ÷ ((2 + 2_i _) (2+ ich)) = 9/20 - 17_i_ / 20