Wie man die Flugbahn einer Kugel berechnet

Inhalt

• TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
• Der Hintergrund: (x) und (y) Komponenten der Geschwindigkeit
• Grundlegende Flugbahnen mit den Gleichungen für konstante Beschleunigung
• Drag einbauen

Die Berechnung der Flugbahn eines Geschosses bietet eine nützliche Einführung in einige Schlüsselbegriffe der klassischen Physik, kann jedoch auch komplexere Faktoren berücksichtigen. Auf der einfachsten Ebene funktioniert die Flugbahn einer Kugel genauso wie die Flugbahn eines anderen Projektils. Der Schlüssel besteht darin, die Geschwindigkeitskomponenten in die Achsen (x) und (y) zu unterteilen und anhand der konstanten Erdbeschleunigung zu bestimmen, wie weit die Kugel fliegen kann, bevor sie auf den Boden trifft. Sie können jedoch auch den Luftwiderstand und andere Faktoren einbeziehen, wenn Sie eine genauere Antwort wünschen.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Ignorieren Sie den Windwiderstand, um die von einer Kugel zurückgelegte Distanz mit der einfachen Formel zu berechnen:

x = v_0x√2h ÷ g

Wo (v_0x) ist seine Startgeschwindigkeit, (h) ist die Höhe, aus der er abgefeuert wurde, und (g) ist die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft.

Diese Formel enthält Drag:

x = v_X0t - CρAv² t² ÷ 2m

Hierbei ist (C) der Luftwiderstandsbeiwert des Geschosses, (ρ) die Luftdichte, (A) die Fläche des Geschosses, (t) die Flugzeit und (m) die Masse des Geschosses.

Der Hintergrund: (x) und (y) Komponenten der Geschwindigkeit

Der wichtigste Punkt, den Sie bei der Berechnung von Trajektorien verstehen müssen, ist, dass Geschwindigkeiten, Kräfte oder andere „Vektoren“ (die sowohl eine Richtung als auch eine Stärke haben) in „Komponenten“ aufgeteilt werden können. Wenn sich etwas in einem 45-Grad-Winkel bewegt Stellen Sie sich vor, Sie bewegen sich horizontal mit einer bestimmten Geschwindigkeit und vertikal mit einer bestimmten Geschwindigkeit. Wenn Sie diese beiden Geschwindigkeiten kombinieren und ihre unterschiedlichen Richtungen berücksichtigen, erhalten Sie die Geschwindigkeit des Objekts, einschließlich der Geschwindigkeit und der daraus resultierenden Richtung.

Verwenden Sie die Funktionen cos und sin, um Kräfte oder Geschwindigkeiten in ihre Komponenten zu unterteilen. Wenn sich etwas mit einer Geschwindigkeit von 10 Metern pro Sekunde in einem Winkel von 30 Grad zur Horizontalen bewegt, ist die x-Komponente der Geschwindigkeit:

v_X = vcos (& thgr;) = 10 m / s × cos (30 °) = 8,66 m / s

Wobei (v) die Geschwindigkeit ist (d. H. 10 Meter pro Sekunde) und Sie einen beliebigen Winkel an die Stelle von (θ) setzen können, der Ihrem Problem entspricht. Die (y) -Komponente wird durch einen ähnlichen Ausdruck gegeben:

v_y = v sin (& thgr;) = 10 m / s × sin (30 °) = 5 m / s

Diese beiden Komponenten bilden die ursprüngliche Geschwindigkeit.

Grundlegende Flugbahnen mit den Gleichungen für konstante Beschleunigung

Der Schlüssel zu den meisten Problemen bei Flugbahnen ist, dass das Projektil aufhört, sich vorwärts zu bewegen, wenn es auf den Boden trifft. Wenn die Kugel aus 1 Meter Höhe abgefeuert wird und die Erdbeschleunigung 1 Meter nach unten drückt, kann sie sich nicht weiter fortbewegen. Dies bedeutet, dass die y-Komponente das Wichtigste ist, was zu berücksichtigen ist.

Die Gleichung für die Verschiebung der y-Komponente lautet:

y = v_0y t - 0,5 gt²

Der Index "0" bedeutet die Startgeschwindigkeit in der Richtung (y), (t) bedeutet die Zeit und (g) bedeutet die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft, die 9,8 m / s beträgt². Wir können dies vereinfachen, wenn die Kugel horizontal perfekt abgefeuert wird und daher keine Geschwindigkeit in (y) -Richtung hat. Diese Blätter:

y = -0,5 gt²

In dieser Gleichung bedeutet (y) die Verschiebung von der Startposition und wir möchten wissen, wie lange es dauert, bis die Kugel von ihrer Starthöhe (h) fällt. Mit anderen Worten, wir wollen

y = -h = -0.5gt²

Was Sie neu arrangieren:

t = √2h ÷ g

Dies ist die Flugzeit für die Kugel. Seine Vorwärtsgeschwindigkeit bestimmt die Entfernung, die er zurücklegt, und dies ist gegeben durch:

x = v_0x t

Wo die Geschwindigkeit die Geschwindigkeit ist, verlässt sie die Waffe mit. Dadurch werden die Effekte des Ziehens ignoriert, um die Berechnung zu vereinfachen. Unter Verwendung der Gleichung für (t), die vor einem Moment gefunden wurde, ist die zurückgelegte Strecke:

x = v_0x√2h ÷ g

Für eine Kugel, die mit 400 m / s abgefeuert wird und aus 1 Meter Höhe abgefeuert wird, gilt Folgendes:

X__ = 400 m / s √

= 400 m / s × 0,452 s = 180,8 m

Die Kugel bewegt sich also ungefähr 181 Meter vor dem Auftreffen auf den Boden.

Drag einbauen

Für eine realistischere Antwort ziehen Sie in die obigen Gleichungen. Dies macht die Sache etwas komplizierter, aber Sie können es leicht genug berechnen, wenn Sie die erforderlichen Informationen über Ihre Kugel und die Temperatur und den Druck finden, unter denen sie abgefeuert wird. Die Gleichung für die Kraft aufgrund des Widerstands lautet:

F_ziehen = −CρAv² ÷ 2

Hier stellt (C) den Luftwiderstandsbeiwert des Geschosses dar (Sie können dies für ein bestimmtes Geschoss herausfinden oder C = 0,295 als allgemeine Zahl verwenden). Ρ ist die Luftdichte (etwa 1,2 kg / m³ bei Normaldruck und -temperatur). , (A) ist die Querschnittsfläche einer Kugel (Sie können dies für eine bestimmte Kugel berechnen oder einfach A = 4,8 × 10 verwenden⁻⁵ m², der Wert für ein Kaliber .308) und (v) ist die Geschwindigkeit der Kugel. Schließlich verwenden Sie die Masse des Geschosses, um diese Kraft in eine Beschleunigung umzuwandeln, die in der Gleichung verwendet werden kann und als m = 0,016 kg angenommen werden kann, sofern Sie nicht ein bestimmtes Geschoss im Auge haben.

Dies ergibt einen komplizierteren Ausdruck für die zurückgelegte Strecke in (x) Richtung:

x = v_X0t - CρEin V² t² ÷ 2m

Dies ist kompliziert, da der Luftwiderstand die Geschwindigkeit verringert, was wiederum den Luftwiderstand verringert. Sie können die Dinge jedoch vereinfachen, indem Sie nur den Luftwiderstand auf der Grundlage der Anfangsgeschwindigkeit von 400 m / s berechnen. Bei einer Flugzeit von 0,452 s (wie bisher) ergibt sich:

X__ = 400 m / s × 0,452 s - ≤ 2 × 0,016 kg

= 180,8 m - (0,555 kg m ≤ 0,032 kg)

= 180,8 m - 17,3 m = 163,5 m

Das Hinzufügen von Luftwiderstand ändert also die Schätzung um etwa 17 Meter.