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In der Grundschulmathematik werden die Schüler mit dem Konzept von a vertraut gemacht, wenn sie lernen, einfache lineare Funktionen zu zeichnen Steigung.
Eine lineare Funktion ist nur eine mit einem Graphen, der durch eine gerade Linie dargestellt wird, deren Position und Richtung in Bezug auf X- und y-axes abhängig von den Eigenschaften der Funktionen.
Eine lineare Gleichung hat die Form
y = mx + bWo y ist die abhängige Variable, m ist die Steigung und b ist eine Größe, die als y-Intercept, der Punkt, den die Linie auf dem kreuzt y-Achse.
Möglicherweise haben Sie auch von einem mathematischen Konstrukt namens a gehört Klasseoder eine Prozentnote. Durcheinandergebrachte, mehrdeutige Begriffe wie "Steigungsverhältnis" und "Steigungsgrad" helfen nicht weiter.
Stehen Steigungen und Gefälle im Zusammenhang? Sie sind in der Tat, und beide sind in Mathematik und Ingenieurwesen unverzichtbar.
Was ist Piste?
Im Alltag ist eine Steigung ein stetiger, anhaltender Auf- oder Abstieg. Das bedeutet es auch in der Mathematik, aber auf eine formalere Art und Weise. Die Steigung einer Linie ist die Änderung der vertikalen (y) Entfernung pro Änderung der horizontalen (x) Entfernung um eine Einheit.
Zum Beispiel, wenn sich ein Punkt in einem Koordinatensystem um 11 Einheiten im Positiv bewegt X-Richtung und vier Einheiten im Negativ y-Richtung ist die Steigung (–4) / (11) = –0,364. Das Minuszeichen bedeutet die Linienwinkel "bergab" in Bezug auf die Horizontale X-Achse.
Eine horizontale Linie wie die Funktion y = 5, bei dem es durchgehend keine vertikale Änderung gibt, hat eine Steigung von 0. Eine vertikale Linie, sowie X = −3hat eine undefinierte Steigung Da es keine horizontale Änderung gibt, ist das Teilen durch Null in der Mathematik nicht zulässig.
Die Point-Slope-Formel
Die Punkt-Steigungs-Formel ist hilfreich, um die Gleichung einer Linie zu bestimmen, wenn entweder zwei Punkte oder ein Punkt und die Steigung bekannt sind. Es hat die Form
y - y_0 = m (x - x_0)Wenn Sie Koordinaten (12, −7) erhalten und wissen, dass der Graph der Funktion eine Steigung von 1,25 hat, können Sie die allgemeine Gleichung bestimmen:
(y - (- 7)) = 1,25 (x - 12) (y + 7) = 1,25x - 15 y = 1,25x - 22
Prozentgehalt
Note oder Prozentgehaltist nur die Steigung in Prozent. Es wird häufig in realen Situationen eingesetzt, in denen Straßen gebaut werden, von denen die steilsten überraschend niedrige Steigungswerte aufweisen.
Beispielsweise hat der Pennsylvania Turnpike in den östlichen USA eine maximale Neigung von 0,03, was bedeutet, dass er nicht mehr als 3 Fuß pro 100 horizontale Fuß steigt oder fällt, die über ein Segment gefahren werden. Die Prozentnote in diesem Fall beträgt 100 × 0,03 = 3 Prozent.
In der Trigonometrie y/X, oder "steigen über Lauf" ist auch der Tangens des Winkels, der von der aufsteigenden oder absteigenden Linie und der Horizontalen gebildet wird. Dies bedeutet, dass die inverse Tangente (tan −1 oder arctan auf einem Rechner) der Steigung entspricht diesem Winkel.
Pisten-Entfernungsrechner
Wenn Sie die Neigung einer Linie kennen, können Sie die zurückgelegte horizontale Entfernung als Funktion der vertikalen Entfernung oder umgekehrt berechnen. Angenommen, Sie wissen, dass Sie eine 4-prozentige Steigung erreichen. Wenn Sie 30 Minuten laufen und sich Ihre horizontale Position mit einer Geschwindigkeit von 4 Meilen pro Stunde ändert, wie viel Höhe haben Sie gewonnen?
4 Meilen pro Stunde für 30 Minuten (1/2 Stunde) sind 2 Meilen, und wenn die prozentuale Neigung 4 beträgt, beträgt die Steigung 4/100 = 0,04. Da die Steigung über dem Lauf ansteigt und in diesem Fall der "Lauf" 2 Meilen beträgt, kann die vertikale Verstärkung wie folgt ermittelt werden:
begin {align} 0.04 & = frac {y} {2 ; {miles}} y & = 0.04 × 2 & = 0.08 ; {miles, oder ungefähr} & 0.08 ; {mi} × 5.280 ; {ft / mi} = 422 ; {ft} end {align}