In der Statistik führt die Zufallsauswahl von Daten aus einer Population häufig zur Erzeugung einer glockenförmigen Kurve, deren Mittelwert auf der Spitze der Glocke zentriert ist. Dies ist als Normalverteilung bekannt. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass mit zunehmender Anzahl von Stichproben der gemessene Mittelwert normalerweise über den Populationsmittelwert verteilt wird und die Standardabweichung enger wird. Der zentrale Grenzwertsatz kann verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, einen bestimmten Wert innerhalb einer Population zu finden.
Sammle Proben und bestimme dann den Mittelwert. Angenommen, Sie möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Mann in den USA einen Cholesterinspiegel von 230 Milligramm pro Deziliter oder mehr hat. Wir würden damit beginnen, Proben von 25 Personen zu sammeln und deren Cholesterinspiegel zu messen. Berechnen Sie nach der Datenerfassung den Mittelwert der Stichprobe. Der Mittelwert wird durch Summieren jedes gemessenen Wertes und Dividieren durch die Gesamtzahl der Proben erhalten. In diesem Beispiel wird angenommen, dass der Mittelwert 211 Milligramm pro Deziliter beträgt.
Berechnen Sie die Standardabweichung, die ein Maß für die "Streuung" der Daten ist. Dies kann in wenigen einfachen Schritten erfolgen:
In diesem Beispiel wird angenommen, dass die Standardabweichung 46 Milligramm pro Deziliter beträgt.
Berechnen Sie den Standardfehler, indem Sie die Standardabweichung durch die Quadratwurzel der Gesamtstichprobenanzahl dividieren:
Standardfehler = 46 / sqrt25 = 9.2
Zeichnen Sie eine Skizze der Normalverteilung und des Farbtons mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit. Nach dem Beispiel möchten Sie wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Mann einen Cholesterinspiegel von 230 Milligramm pro Deziliter oder mehr hat. Um die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, ermitteln Sie, wie viele Standardfehler vom Mittelwert von 230 Milligramm pro Deziliter (Z-Wert) abweichen:
Z = 230 - 211 / 9,2 = 2,07
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, einen Wert von 2,07 Standardfehlern über dem Mittelwert zu erhalten. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit finden müssen, einen Wert innerhalb von 2,07 Standardabweichungen des Mittelwerts zu finden, ist z positiv. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit finden müssen, einen Wert zu finden, der über 2,07 Standardabweichungen des Mittelwerts hinausgeht, ist z negativ.
Schlagen Sie den Z-Wert in einer normalen Standardwahrscheinlichkeitstabelle nach. Die erste Spalte auf der linken Seite zeigt die ganze Zahl und die erste Dezimalstelle des Z-Wertes. Die obere Zeile zeigt die dritte Dezimalstelle des Z-Wertes. Befolgen Sie das Beispiel, da unser z-Wert -2.07 ist, suchen Sie zuerst -2.0 in der linken Spalte und suchen Sie dann in der oberen Zeile nach dem Eintrag 0.07. Der Punkt, an dem sich diese Spalten und Zeilen schneiden, ist die Wahrscheinlichkeit. In diesem Fall beträgt der in der Tabelle abgelesene Wert 0,0192, und die Wahrscheinlichkeit, einen Mann mit einem Cholesterinspiegel von 230 Milligramm pro Deziliter oder mehr zu finden, beträgt 1,92 Prozent.