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Manchmal ist "exponentielles Wachstum" nur eine Redewendung, ein Hinweis auf alles, was unangemessen oder unglaublich schnell wächst. In bestimmten Fällen können Sie die Idee eines exponentiellen Wachstums jedoch wörtlich nehmen. Zum Beispiel kann eine Population von Kaninchen exponentiell wachsen, wenn sich jede Generation vermehrt, dann vermehren sich ihre Nachkommen usw. Geschäftliches oder persönliches Einkommen kann ebenfalls exponentiell wachsen. Wenn Sie aufgefordert werden, realistische Berechnungen des exponentiellen Wachstums durchzuführen, arbeiten Sie mit drei Informationen: Anfangswert, Wachstumsrate (oder Verfallsrate) und Zeit.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
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Verwenden Sie die Formel, um das exponentielle Wachstum zu berechnen y(t) = a__ekt, wo ein ist der Wert am Anfang, k ist die Geschwindigkeit des Wachstums oder des Zerfalls, t ist Zeit und y(t) ist der Bevölkerungswert zum Zeitpunkt t.
Wie man exponentielle Wachstumsraten berechnet
Stellen Sie sich vor, ein Wissenschaftler untersucht das Wachstum einer neuen Bakterienart. Während er die Werte für Ausgangsmenge, Wachstumsrate und Zeit in einen Bevölkerungswachstumsrechner eingeben konnte, entschied er sich, die Wachstumsrate der Bakterienpopulation manuell zu berechnen.
Wenn der Wissenschaftler auf seine genauen Aufzeichnungen zurückblickt, sieht er, dass seine Ausgangspopulation 50 Bakterien betrug. Fünf Stunden später maß er 550 Bakterien.
Eingabe der Wissenschaftlerinformationen in die Gleichung für exponentielles Wachstum oder Zerfall, y(t) = a__ekt, Er hat:
550 = 50_ek_5
Das einzige Unbekannte in der Gleichung ist koder die Rate des exponentiellen Wachstums.
Zum Auflösen von kTeilen Sie zuerst beide Seiten der Gleichung durch 50. Dies gibt Ihnen:
550/50 = (50_ek_5) / 50, was vereinfacht:
11 = e_k_5
Als nächstes nehmen Sie den natürlichen Logarithmus beider Seiten, der als ln notiert ist (X). Dies gibt Ihnen:
ln (11) = ln (e_k_5)
Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion von eX, so dass es effektiv "rückgängig macht" eX Funktion auf der rechten Seite der Gleichung, so dass Sie:
ln (11) = _k_5
Teilen Sie als Nächstes beide Seiten durch 5, um die Variable zu isolieren.
k = ln (11) / 5
Sie kennen jetzt die exponentielle Wachstumsrate dieser Bakterienpopulation: k = ln (11) / 5. Wenn Sie mit dieser Population weitere Berechnungen durchführen möchten, z. B. indem Sie die Wachstumsrate in die Gleichung einfügen und die Populationsgröße auf schätzen t = 10 Stunden - am besten die Antwort in dieser Form hinterlassen. Wenn Sie jedoch keine weiteren Berechnungen durchführen, können Sie diesen Wert in einen Exponentialfunktionsrechner - oder Ihren wissenschaftlichen Rechner - eingeben, um einen geschätzten Wert von 0,479579 zu erhalten. Abhängig von den genauen Parametern Ihres Experiments können Sie dies zur Vereinfachung der Berechnung oder Notation auf 0,48 / Stunde runden.