Inhalt
- TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
- Die Eigenfrequenz eines einfachen harmonischen Oszillators definiert
- Berechnung der Eigenfrequenz
Alle oszillierenden Bewegungen - die Bewegung einer Gitarrensaite, eine nach dem Schlagen vibrierende Stange oder das Aufprallen eines Gewichts auf eine Feder - haben eine Eigenfrequenz. Die Grundsituation für die Berechnung ist eine Masse an einer Feder, die ein einfacher harmonischer Oszillator ist. In komplizierteren Fällen können Sie die Auswirkungen der Dämpfung (Verlangsamung der Schwingungen) hinzufügen oder detaillierte Modelle erstellen, bei denen Antriebskräfte oder andere Faktoren berücksichtigt werden. Die Berechnung der Eigenfrequenz für ein einfaches System ist jedoch einfach.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Berechnen Sie die Eigenfrequenz eines einfachen harmonischen Oszillators mit der Formel:
f = √(k / m) ÷ 2π
Fügen Sie die Federkonstante für das System ein, das Sie in Betracht ziehen kund die oszillierende Masse für mund dann auswerten.
Die Eigenfrequenz eines einfachen harmonischen Oszillators definiert
Stellen Sie sich eine Feder mit einer Kugel vor, die mit Masse am Ende befestigt ist m. Wenn der Aufbau stationär ist, ist die Feder teilweise gespannt, und der gesamte Aufbau befindet sich in der Gleichgewichtsposition, in der die Spannung der ausgezogenen Feder mit der Schwerkraft übereinstimmt, die die Kugel nach unten zieht. Wenn Sie den Ball aus dieser Gleichgewichtsposition herausbewegen, wird entweder die Feder gespannt (wenn Sie sie nach unten strecken) oder die Schwerkraft kann den Ball nach unten ziehen, ohne dass die Federspannung dem entgegenwirkt (wenn Sie den Ball nach oben drücken). In beiden Fällen beginnt die Kugel um die Gleichgewichtsposition zu schwingen.
Die Eigenfrequenz ist die Frequenz dieser Schwingung, gemessen in Hertz (Hz). Hier erfahren Sie, wie viele Schwingungen pro Sekunde auftreten, abhängig von den Eigenschaften der Feder und der Masse der daran befestigten Kugel. Gezupfte Gitarrensaiten, von einem Gegenstand getroffene Stäbe und viele andere Systeme schwingen mit einer Eigenfrequenz.
Berechnung der Eigenfrequenz
Der folgende Ausdruck definiert die Eigenfrequenz eines einfachen harmonischen Oszillators:
f = ω /2π
Wo ω ist die Winkelfrequenz der Schwingung, gemessen im Bogenmaß / Sekunde. Der folgende Ausdruck definiert die Winkelfrequenz:
ω = √(k / m)
Das heißt also:
f = √(k / m) ÷ 2π
Hier, k ist die Federkonstante für die betreffende Feder und m ist die Masse des Balls. Die Federkonstante wird in Newton / Meter gemessen. Federn mit höheren Konstanten sind steifer und benötigen mehr Kraft zum Ausfahren.
Um die Eigenfrequenz mit der obigen Gleichung zu berechnen, ermitteln Sie zunächst die Federkonstante für Ihr spezifisches System. Sie können die Federkonstante für reale Systeme durch Experimentieren ermitteln, aber für die meisten Probleme erhalten Sie einen Wert dafür. Fügen Sie diesen Wert an der Stelle für ein k (in diesem Beispiel k = 100 N / m), und dividieren Sie es durch die Masse des Objekts (für das Beispiel, m = 1 kg). Nehmen Sie dann die Quadratwurzel des Ergebnisses, bevor Sie dieses durch 2π teilen. Gehen Sie die Schritte durch:
f = √ (100 N / m / 1 kg) ≤ 2π
= √ (100 s−2) ÷ 2π
= 10 Hz ≤ 2π
= 1,6 Hz
In diesem Fall beträgt die Eigenfrequenz 1,6 Hz, was bedeutet, dass das System etwas mehr als eineinhalb Mal pro Sekunde schwingt.