Inhalt
- Finden des n-ten Elements in einer geometrischen Reihe
- Berechnung der Summe einer geometrischen Folge
In der Mathematik ist eine Folge eine beliebige Folge von Zahlen, die in aufsteigender oder absteigender Reihenfolge angeordnet sind. Eine Folge wird zu einer geometrischen Folge, wenn Sie in der Lage sind, jede Zahl zu erhalten, indem Sie die vorherige Zahl mit einem gemeinsamen Faktor multiplizieren. Zum Beispiel die Serien 1, 2, 4, 8, 16. . . ist eine geometrische Folge mit dem gemeinsamen Faktor 2. Wenn Sie eine beliebige Zahl in der Reihe mit 2 multiplizieren, erhalten Sie die nächste Zahl. Demgegenüber ist die Reihenfolge 2, 3, 5, 8, 14, 22. . . ist nicht geometrisch, weil es keinen gemeinsamen Faktor zwischen Zahlen gibt. Eine geometrische Folge kann einen gemeinsamen Bruchfaktor haben. In diesem Fall ist jede aufeinanderfolgende Zahl kleiner als die vorherige. 1, 1/2, 1/4, 1/8. . . ist ein Beispiel. Sein gemeinsamer Faktor ist 1/2.
Die Tatsache, dass eine geometrische Sequenz einen gemeinsamen Faktor hat, ermöglicht es Ihnen, zwei Dinge zu tun. Das erste ist die Berechnung eines beliebigen Elements in der Folge (die Mathematiker gerne das "n-te" Element nennen), und das zweite ist die Ermittlung der Summe der geometrischen Folge bis zum n-ten Element. Wenn Sie die Sequenz durch Setzen eines Pluszeichens zwischen jedes Begriffspaar summieren, wandeln Sie die Sequenz in eine geometrische Reihe um.
Finden des n-ten Elements in einer geometrischen Reihe
Im Allgemeinen können Sie jede geometrische Reihe folgendermaßen darstellen:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 . . .
Dabei ist "a" der erste Term in der Reihe und "r" der gemeinsame Faktor. Betrachten Sie dazu die Reihen mit a = 1 und r = 2. Sie erhalten 1 + 2 + 4 + 8 + 16. . . Es klappt!
Nachdem dies festgestellt wurde, ist es nun möglich, eine Formel für den n-ten Term in der Folge (xn).
Xn = ar(n-1)
Der Exponent ist n - 1 anstatt n, damit der erste Term in der Sequenz als ar geschrieben werden kann0, was "a."
Überprüfen Sie dies, indem Sie den 4. Term in der Beispielserie berechnen.
X4 = (1) • 23 = 8.
Berechnung der Summe einer geometrischen Folge
Wenn Sie eine divergente Sequenz summieren möchten, die ein gemeinsames Verhältnis von mehr als 1 oder weniger als -1 hat, können Sie dies nur bis zu einer begrenzten Anzahl von Termen tun. Es ist jedoch möglich, die Summe einer unendlichen konvergenten Sequenz zu berechnen, die eine mit einem gemeinsamen Verhältnis zwischen 1 und -1 ist.
Um die geometrische Summenformel zu entwickeln, überlegen Sie zunächst, was Sie tun. Sie suchen die Summe der folgenden Ergänzungen:
a + ar + ar2 + ar3 +. . . ar(n-1)
Jeder Begriff in der Reihe ist arkund k geht von 0 nach n-1. Die Formel für die Summe der Reihen verwendet das Großbuchstaben-Sigma-Zeichen - ∑ - was bedeutet, dass alle Terme von (k = 0) bis (k = n - 1) addiert werden.
∑ark = a
Um dies zu überprüfen, betrachten Sie die Summe der ersten 4 Terme der geometrischen Reihe, die bei 1 beginnen und einen gemeinsamen Faktor 2 haben. In der obigen Formel ist a = 1, r = 2 und n = 4. Geben Sie diese Werte ein bekommen:
1 • = 15
Dies lässt sich leicht überprüfen, indem Sie die Nummern in der Reihe selbst hinzufügen. Wenn Sie die Summe einer geometrischen Reihe benötigen, ist es in der Regel einfacher, die Zahlen selbst zu addieren, wenn nur wenige Begriffe vorhanden sind. Wenn die Reihe jedoch eine große Anzahl von Begriffen enthält, ist es viel einfacher, die geometrische Summenformel zu verwenden.