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Die Summe der Quadrate ist ein Werkzeug, mit dem Statistiker und Wissenschaftler die Gesamtvarianz eines Datensatzes vom Mittelwert auswerten. Eine große Summe von Quadraten bedeutet eine große Varianz, was bedeutet, dass die einzelnen Messwerte stark vom Mittelwert abweichen.
Diese Informationen sind in vielen Situationen hilfreich. Beispielsweise kann eine große Varianz der Blutdruckwerte über einen bestimmten Zeitraum auf eine Instabilität des Herz-Kreislauf-Systems hinweisen, die ärztliche Hilfe benötigt. Für Finanzberater bedeutet eine große Abweichung der täglichen Aktienwerte eine Marktinstabilität und ein höheres Risiko für die Anleger. Wenn Sie die Quadratwurzel der Quadratsumme nehmen, erhalten Sie die Standardabweichung, eine noch nützlichere Zahl.
Die Summe der Quadrate finden
Die Anzahl der Messungen ist die Stichprobengröße. Kennzeichnen Sie es mit dem Buchstaben "n".
Der Mittelwert ist das arithmetische Mittel aller Messungen. Um es zu finden, addieren Sie alle Messungen und dividieren durch die Stichprobengröße, n.
Zahlen, die größer als der Mittelwert sind, ergeben eine negative Zahl, aber das spielt keine Rolle. Dieser Schritt erzeugt eine Reihe von n individuellen Abweichungen vom Mittelwert.
Wenn Sie eine Zahl quadrieren, ist das Ergebnis immer positiv. Sie haben jetzt eine Reihe von n positiven Zahlen.
Dieser letzte Schritt ergibt die Summe der Quadrate. Sie haben jetzt eine Standardvarianz für Ihre Stichprobengröße.
Standardabweichung
Statistiker und Wissenschaftler addieren normalerweise einen Schritt mehr, um eine Zahl zu erstellen, die die gleichen Einheiten wie jede der Messungen aufweist. Der Schritt besteht darin, die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate zu ziehen. Diese Zahl ist die Standardabweichung und gibt den Durchschnittsbetrag an, um den jede Messung vom Mittelwert abweicht. Zahlen außerhalb der Standardabweichung sind entweder ungewöhnlich hoch oder ungewöhnlich niedrig.
Beispiel
Angenommen, Sie messen eine Woche lang jeden Morgen die Außentemperatur, um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie stark die Temperatur in Ihrer Region schwankt. Sie erhalten eine Reihe von Temperaturen in Grad Fahrenheit, die so aussehen:
Mo: 55, Di: 62, Mi: 45, Do: 32, Fr: 50, Sa: 57, So: 54
Um die mittlere Temperatur zu berechnen, addieren Sie die Messwerte und dividieren Sie sie durch die von Ihnen aufgezeichnete Zahl (7). Der Mittelwert liegt bei 50,7 Grad.
Berechnen Sie nun die einzelnen Abweichungen vom Mittelwert. Diese Serie ist:
4.3; -11.3; 5.7; 18.7; 0.7; -6.3; - 2.3
Quadrieren Sie jede Zahl: 18,49; 127,69; 32,49; 349,69; 0,49; 39,69; 5.29
Addiere die Zahlen und dividiere durch (n - 1) = 6, um 95,64 zu erhalten. Dies ist die Summe der Quadrate für diese Messreihe. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel dieser Zahl oder 9,78 Grad Fahrenheit.
Es ist eine ziemlich große Zahl, aus der hervorgeht, dass die Temperaturen im Laufe der Woche ziemlich stark schwankten. Es sagt Ihnen auch, dass der Dienstag ungewöhnlich warm war, während der Donnerstag ungewöhnlich kalt war. Sie konnten das wahrscheinlich fühlen, aber jetzt haben Sie statistische Beweise.