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Projektilbewegung bezieht sich auf die Bewegung eines Teilchens, das mit einer Anfangsgeschwindigkeit beaufschlagt wird, anschließend aber keinen anderen Kräften als der Schwerkraft ausgesetzt wird.
Dies schließt Probleme ein, bei denen ein Partikel in einem Winkel zwischen 0 und 90 Grad gegen die Horizontale geschleudert wird, wobei die Horizontale üblicherweise der Boden ist. Der Einfachheit halber wird angenommen, dass diese Projektile in der (x, y) Flugzeug, mit X horizontale Verschiebung darstellt und y vertikale Verschiebung.
Der Weg eines Projektils wird als sein bezeichnet Flugbahn. (Beachten Sie, dass die gemeinsame Verknüpfung in "Projektil" und "Flugbahn" die Silbe "-ject" ist, das lateinische Wort für "werfen". Jemanden auszuwerfen bedeutet buchstäblich, ihn hinauszuwerfen.) Der Ausgangspunkt des Projektils bei Problemen Wenn nicht anders angegeben, wird der Einfachheit halber von (0, 0) ausgegangen, in der Sie die Flugbahn berechnen müssen.
Die Flugbahn eines Projektils ist eine Parabel (oder zeichnet zumindest einen Teil einer Parabel nach), wenn das Partikel so abgeschossen wird, dass es eine horizontale Bewegungskomponente ungleich Null aufweist und kein Luftwiderstand auf das Partikel einwirkt.
Die kinematischen Gleichungen
Die Variablen, die für die Bewegung eines Teilchens von Interesse sind, sind seine Positionskoordinaten X und y, seine Geschwindigkeit vund seine Beschleunigung einAlles in Bezug auf eine vorgegebene verstrichene Zeit t seit dem Beginn des Problems (wenn das Partikel gestartet oder freigegeben wird). Man beachte, dass das Weglassen von Masse (m) impliziert, dass die Schwerkraft auf der Erde unabhängig von dieser Größe wirkt.
Beachten Sie auch, dass diese Gleichungen die Rolle des Luftwiderstands ignorieren, der in realen Erdsituationen eine Widerstandskraft gegen die Bewegung erzeugt. Dieser Faktor wird in übergeordneten Mechanikkursen eingeführt.
Variablen mit dem Index "0" beziehen sich auf den Wert dieser Größe zum Zeitpunkt t = 0 und sind Konstanten; oft ist dieser Wert dank des gewählten Koordinatensystems 0 und die Gleichung wird viel einfacher. Die Beschleunigung wird bei diesen Problemen als konstant behandelt (und ist in y-Richtung und gleich -G, oder –9,8 m / s2, die Erdbeschleunigung).
Horizontale Bewegung:
x = x0 + vX t
Vertikale Bewegung:
Beispiele für Projektilbewegungen
Der Schlüssel, um Probleme zu lösen, die Flugbahnberechnungen beinhalten, ist das Wissen, dass die horizontalen (x) und vertikalen (y) Bewegungskomponenten wie oben gezeigt getrennt analysiert werden können und ihre jeweiligen Beiträge zur Gesamtbewegung am Ende von sauber summiert werden können das Problem.
Probleme mit der Projektilbewegung gelten als Probleme mit dem freien Fall, denn egal wie die Dinge nach einiger Zeit aussehen t = 0, die einzige Kraft, die auf das sich bewegende Objekt wirkt, ist die Schwerkraft.
Flugbahnberechnungen
1. Die schnellsten Pitcher im Baseball können einen Ball mit etwas mehr als 100 Meilen pro Stunde oder 45 m / s werfen. Wenn ein Ball mit dieser Geschwindigkeit senkrecht nach oben geschleudert wird, wie hoch wird er und wie lange wird es dauern, bis er zu dem Punkt zurückkehrt, an dem er losgelassen wurde?
Hier vy0 = 45 m / sG = –9,8 m / s und die interessierenden Mengen sind die endgültige Höhe oder y, und die Gesamtzeit zurück zur Erde. Die Gesamtzeit ist eine zweiteilige Berechnung: Zeit bis zu y und Zeit zurück bis zu y0 = 0. Für den ersten Teil des Problems vy, Wenn der Ball seine maximale Höhe erreicht, ist er 0.
Beginnen Sie mit der Gleichung vy2 = v0y2 - 2 g (y - y0) und Einstecken der Werte, die Sie haben:
0 = (45)2 - (2) (9,8) (y - 0) = 2,025 - 19,6y
y = 103,3 m
Die gleichung vy = v0y - gt zeigt, dass die dafür benötigte Zeit t (45 / 9,8) = 4,6 Sekunden beträgt. Um die Gesamtzeit zu erhalten, addieren Sie diesen Wert zu der Zeit, die der Ball benötigt, um frei an seinen Startpunkt zu fallen. Dies ist gegeben durch y = y0 + v0yt - (1/2) gt2 , wo jetzt, weil der Ball noch in dem Moment ist, bevor er zu sinken beginnt, v0y = 0.
Lösen von (103,3) = (1/2) gt2 für t ergibt t = 4,59 Sekunden.
Somit beträgt die Gesamtzeit 4,59 + 4,59 = 9,18 Sekunden. Das vielleicht überraschende Ergebnis, dass jedes "Bein" der Reise, auf und ab, dieselbe Zeit in Anspruch nahm, unterstreicht die Tatsache, dass die Schwerkraft die einzige Kraft ist, die hier im Spiel ist.
2. Die Entfernungsgleichung: Wenn ein Projektil mit einer Geschwindigkeit abgefeuert wird v0 und einen Winkel & thgr; von der Horizontalen hat es anfängliche horizontale und vertikale Geschwindigkeitskomponenten v0x = v0(cos θ) und v0y = v0(sin & thgr;).
weil vy = v0y - gt, und vy = 0 Wenn das Projektil seine maximale Höhe erreicht, ist die Zeit bis zur maximalen Höhe durch t = gegeben v0y/G. Aufgrund der Symmetrie wird die Zeit benötigt, um zum Boden zurückzukehren (oder y = y0) ist einfach 2t = 2v0y/G.
Kombinieren Sie diese schließlich mit der Beziehung x = v0xt ist die horizontal zurückgelegte Strecke bei einem Startwinkel θ
R (Bereich) = 2 (v02sin θ ⋅ cos & thgr; / g) = v02(sin2 & thgr;) / g
(Der letzte Schritt ergibt sich aus der trigonometrischen Identität 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Da sin2θ bei θ = 45 Grad seinen Maximalwert von 1 hat, maximiert die Verwendung dieses Winkels den horizontalen Abstand für eine gegebene Geschwindigkeit bei
R = v02/G.