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In der Mathematik besteht manchmal die Notwendigkeit zu beweisen, ob Funktionen linear voneinander abhängig oder unabhängig sind. Wenn Sie zwei linear abhängige Funktionen haben, führt die grafische Darstellung der Gleichungen dieser Funktionen zu Punkten, die sich überlappen. Funktionen mit unabhängigen Gleichungen überlappen sich nicht, wenn sie grafisch dargestellt werden. Eine Methode zum Bestimmen, ob Funktionen abhängig oder unabhängig sind, besteht darin, den Wronskian für die Funktionen zu berechnen.
Was ist ein Wronskianer?
Der Wronskian zweier oder mehrerer Funktionen ist eine so genannte Determinante, eine spezielle Funktion, mit der mathematische Objekte verglichen und bestimmte Fakten über sie bewiesen werden. Im Fall des Wronskian wird die Determinante verwendet, um die Abhängigkeit oder Unabhängigkeit zwischen zwei oder mehr linearen Funktionen zu beweisen.
Die Wronskian Matrix
Um den Wronskian für lineare Funktionen zu berechnen, müssen die Funktionen für denselben Wert in einer Matrix gelöst werden, die sowohl die Funktionen als auch deren Ableitungen enthält. Ein Beispiel hierfür ist W (f, g) (t) = | ff((tt)) GG((tt)) |, das den Wronskian für zwei Funktionen (f und g) bereitstellt, die für einen einzelnen Wert aufgelöst werden, der größer als Null ist (t); Sie können die beiden Funktionen f (t) und g (t) in der oberen Reihe der Matrix und die Ableitungen f (t) und g (t) in der unteren Reihe sehen. Beachten Sie, dass der Wronskian auch für größere Sets verwendet werden kann. Wenn Sie beispielsweise drei Funktionen mit einem Wronskian testen, können Sie eine Matrix mit den Funktionen und Ableitungen von f (t), g (t) und h (t) füllen.
Den Wronskianer lösen
Wenn Sie die Funktionen in einer Matrix angeordnet haben, multiplizieren Sie jede Funktion mit der Ableitung der anderen Funktion und subtrahieren Sie den ersten Wert vom zweiten. Für das obige Beispiel erhalten Sie W (f, g) (t) = f (t) g (t) - g (t) f (t). Wenn die endgültige Antwort gleich Null ist, zeigt dies, dass die beiden Funktionen abhängig sind. Wenn die Antwort nicht Null ist, sind die Funktionen unabhängig.
Wronskianisches Beispiel
Um Ihnen eine bessere Vorstellung davon zu geben, wie dies funktioniert, nehmen Sie an, dass f (t) = x + 3 und g (t) = x - 2. Mit einem Wert von t = 1 können Sie die Funktionen wie folgt lösen: f (1) = 4 und g (1) = -1. Da es sich um lineare Grundfunktionen mit einer Steigung von 1 handelt, sind die Ableitungen von f (t) und g (t) gleich 1. Multiplizieren Sie Ihre Werte mit W (f, g) (1) = (4 + 1). - (-1 + 1), was ein Endergebnis von 5 ergibt. Obwohl die linearen Funktionen beide die gleiche Steigung haben, sind sie unabhängig, da sich ihre Punkte nicht überlappen. Wenn f (t) ein Ergebnis von -1 anstelle von 4 ergeben hätte, hätte der Wronskian stattdessen ein Ergebnis von Null angegeben, um die Abhängigkeit anzuzeigen.