Polynome mit Brüchen faktorisieren

Inhalt

• Polynome mit definierten Brüchen
• Factoring-Grundlagen - Verteilungseigenschaft und FOIL-Methode
• Schritte beim Faktorisieren von Polynombrüchen
• Auswerten von Gleichungen über die Teilzerlegung von Brüchen
• Vereinfachen Sie den Nenner
• Ordnen Sie den Zähler neu an

Der beste Weg, Polynome mit Brüchen zu faktorisieren, beginnt damit, die Brüche auf einfachere Begriffe zu reduzieren. Polynome repräsentieren algebraische Ausdrücke mit zwei oder mehr Begriffen, genauer gesagt der Summe mehrerer Begriffe, die unterschiedliche Ausdrücke derselben Variablen haben. Strategien, die bei der Vereinfachung von Polynomen helfen, umfassen das Ausklammern des größten gemeinsamen Faktors, gefolgt von der Gruppierung der Gleichung in ihre niedrigsten Terme. Gleiches gilt auch für die Lösung von Polynomen mit Brüchen.

Polynome mit definierten Brüchen

Sie haben drei Möglichkeiten, um die Phrasenpolynome mit Brüchen anzuzeigen. Die erste Interpretation befasst sich mit Polynomen mit Brüchen für Koeffizienten. In der Algebra ist der Koeffizient als die vor einer Variablen gefundene Zahlenmenge oder Konstante definiert. Mit anderen Worten sind die Koeffizienten für 7a, b und (1/3) c 7, 1 bzw. (1/3). Zwei Beispiele für Polynome mit Bruchkoeffizienten wären daher:

(1/4) x² + 6x + 20 sowie x² + (3/4) x + (1/8).

Die zweite Interpretation von „Polynomen mit Brüchen“ bezieht sich auf Polynome, die in Bruch- oder Verhältnisform mit einem Zähler und einem Nenner existieren, wobei das Zählerpolynom durch das Nennerpolynom geteilt wird. Diese zweite Interpretation wird beispielsweise veranschaulicht durch:

(X² + 7x + 10) ÷ (x² + 11x + 18)

Die dritte Interpretation bezieht sich unterdessen auf die teilweise Zersetzung von Fraktionen, die auch als teilweise Expansion von Fraktionen bekannt ist. Manchmal sind Polynombrüche komplex, sodass sie, wenn sie in einfachere Begriffe „zerlegt“ oder „zerlegt“ werden, als Summen, Differenzen, Produkte oder Quotienten von Polynombrüchen dargestellt werden. Zur Veranschaulichung der komplexen Polynomfraktion von (8x + 7) ÷ (x² + x - 2) wird durch partielle Bruchzerlegung ausgewertet, die im Übrigen die Faktorisierung von Polynomen beinhaltet, um + in einfachster Form zu sein.

Factoring-Grundlagen - Verteilungseigenschaft und FOIL-Methode

Faktoren stellen zwei Zahlen dar, die, wenn sie miteinander multipliziert werden, einer dritten Zahl entsprechen. In algebraischen Gleichungen bestimmt das Factoring, welche zwei Größen miteinander multipliziert wurden, um ein bestimmtes Polynom zu erhalten. Die Verteilungseigenschaft wird beim Multiplizieren von Polynomen stark verfolgt. Die Verteilungseigenschaft ermöglicht es im Wesentlichen, eine Summe zu multiplizieren, indem jede Zahl einzeln multipliziert wird, bevor die Produkte hinzugefügt werden. Beobachten Sie zum Beispiel, wie die Verteilungseigenschaft angewendet wird am Beispiel von:

7 (10x + 5), um das Binomial von 70x + 35 zu erhalten.

Wenn jedoch zwei Binome miteinander multipliziert werden, wird eine erweiterte Version der Verteilungseigenschaft über die FOIL-Methode verwendet. FOIL steht für die Abkürzung für First, Outer, Inner und Last Terms, die multipliziert werden. Beim Faktorisieren von Polynomen wird daher die FOIL-Methode rückwärts ausgeführt. Nehmen Sie die beiden oben genannten Beispiele mit den Polynomen, die Bruchkoeffizienten enthalten. Wenn Sie die FOIL-Methode rückwärts ausführen, ergeben sich folgende Faktoren:

((1/2) x + 2) ((1/2) x + 10) für das erste Polynom und die Faktoren von:

(x + (1/4)) (x + (1/2)) für das zweite Polynom.

Beispiel: (1/4) x² + 6x + 20 = (1/2) x + 2) (1/2) x + 10)

Beispiel: x² + (3/4) x + (1/8) = (x + (1/4)) (x + (1/2))

Schritte beim Faktorisieren von Polynombrüchen

Von oben gesehen beinhalten Polynombrüche ein Polynom im Zähler geteilt durch ein Polynom im Nenner. Das Auswerten von Polynombrüchen erfordert daher zuerst das Faktorisieren des Zählerpolynoms, gefolgt vom Faktorisieren des Nennerpolynoms. Es hilft, den größten gemeinsamen Faktor (GCF) zwischen Zähler und Nenner zu finden. Sobald der GCF sowohl des Zählers als auch des Nenners gefunden ist, wird er aufgehoben, wodurch die gesamte Gleichung vereinfacht wird. Betrachten Sie das Beispiel für den ursprünglichen Polynombruch von

(X² + 7x + 10) ÷ (x²+ 11x + 18).

Das Zählen der Zähler- und Nennerpolynome, um die GCF-Ergebnisse zu finden, ergibt:

÷, wobei der GCF (x + 2) ist.

Die GCF sowohl im Zähler als auch im Nenner heben sich gegenseitig auf, um die endgültige Antwort mit den niedrigsten Werten von (x + 5) ÷ (x + 9) zu erhalten.

Beispiel:

X² + 7x + 10 (x + 2)(x + 5) (x + 5)

__ = ___ = __

X²+ 11x + 18 (x + 2)(x + 9) (x + 9)

Auswerten von Gleichungen über die Teilzerlegung von Brüchen

Die Zerlegung von Teilfraktionen, die das Faktorisieren beinhaltet, ist eine Möglichkeit, komplexe Polynomfraktionsgleichungen in eine einfachere Form umzuschreiben. Wiederholung des obigen Beispiels von

(8x + 7) ÷ (x² + x - 2).

Vereinfachen Sie den Nenner

Vereinfache den Nenner, um zu erhalten: (8x + 7) ÷.

8x + 7 8x + 7

__ = __

X² + x - 2 (x + 2) (x - 1)

Ordnen Sie den Zähler neu an

Ordnen Sie als Nächstes den Zähler neu an, sodass die GCFs im Nenner vorhanden sind, um Folgendes zu erhalten:

(3x + 5x - 3 + 10) ÷, das zu {(3x - 3) ÷} + {(5x + 10) ÷} erweitert wird.

8x + 7 3x + 5x - 3 + 10 3x - 3 5x + 10

____ = ___ = ______ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1)

Für den linken Summanden ist der GCF (x - 1), während für den rechten Summanden der GCF (x + 2) ist, was sich im Zähler und Nenner aufhebt, wie in {+} gezeigt.

3x - 3 5x + 10 3(x - 1) 5(x + 2)

___ + __ = ___ +

(x + 2) (x - 1) (x + 2) (x - 1) (x + 2)(x - 1) (x + 2)(x - 1)

Wenn die GCFs stornieren, lautet die endgültige vereinfachte Antwort also +:

3 5

__ + __ als Lösung der Teilfraktionszersetzung.

x + 2 x - 1