Bruchexponenten: Regeln zum Multiplizieren und Teilen

Inhalt

• TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
• Was sind Bruchexponenten?
• Regeln für Bruchexponenten: Multiplizieren von Bruchexponenten mit derselben Basis
• Regeln für Bruchexponenten: Teilen von Bruchexponenten mit derselben Basis
• Multiplizieren und Dividieren von Bruchexponenten in verschiedene Basen

Das Erlernen des Umgangs mit Exponenten ist ein wesentlicher Bestandteil jeder Mathematikausbildung, aber glücklicherweise stimmen die Regeln für das Multiplizieren und Teilen mit den Regeln für nicht-fraktionale Exponenten überein. Der erste Schritt, um zu verstehen, wie mit gebrochenen Exponenten umgegangen wird, besteht darin, eine Übersicht über ihre genauen Eigenschaften zu erhalten. Anschließend können Sie untersuchen, wie Sie Exponenten kombinieren können, wenn sie multipliziert oder geteilt werden und dieselbe Basis haben. Kurz gesagt, Sie addieren die Exponenten beim Multiplizieren und subtrahieren sie beim Dividieren voneinander, sofern sie dieselbe Basis haben.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Multiplizieren Sie Terme mit Exponenten mit der allgemeinen Regel:

X^ein + X^b = X^{(ein + b)}

Und teile Terme mit Exponenten nach der Regel:

X^ein ÷ X^b = X^{(ein – b)}

Diese Regeln funktionieren mit jedem Ausdruck anstelle von ein und bauch Bruchteile.

Was sind Bruchexponenten?

Bruchexponenten bieten eine kompakte und nützliche Möglichkeit, Quadrate, Würfel und höhere Wurzeln auszudrücken. Der Nenner auf dem Exponenten gibt an, für welche Wurzel der Begriff die Basiszahl steht. In einem Begriff wie X^einrufst du an X die Basis und ein der Exponent. Ein Bruchexponent sagt also:

X^1/2 = √X

Der Nenner von zwei auf dem Exponenten gibt an, dass Sie die Quadratwurzel von ziehen X in diesem Ausdruck. Die gleiche Grundregel gilt für höhere Wurzeln:

X^1/3 = ∛X

Und

X^1/4 = ⁴√x

Dieses Muster setzt sich fort. Für ein konkretes Beispiel:

9^1/2 = √9 = 3

Und

8^1/3 = ∛8 = 2

Regeln für Bruchexponenten: Multiplizieren von Bruchexponenten mit derselben Basis

Multiplizieren Sie Terme mit Bruchexponenten (vorausgesetzt, sie haben dieselbe Basis), indem Sie die Exponenten addieren. Zum Beispiel:

X^1/3 × X^1/3 × X^1/3 = X ^{(1/3 + 1/3 + 1/3)}

= X¹ = X

Schon seit X^1/3 bedeutet "die Kubikwurzel von X„Es macht durchaus Sinn, dass diese zweimalige Multiplikation das Ergebnis ergibt X. Sie können auch in Beispiele wie laufen X^1/3 × X^1/3, aber Sie gehen genau so vor:

X^1/3 × X^1/3 = X ^{(1/3 + 1/3)}

= X^2/3

Die Tatsache, dass der Ausdruck am Ende immer noch ein Bruchteil eines Exponenten ist, macht keinen Unterschied für den Prozess. Dies kann vereinfacht werden, wenn Sie dies beachten X^2/3 = (X^1/3)² = ∛X². Bei einem Ausdruck wie diesem spielt es keine Rolle, ob Sie zuerst die Wurzel oder die Kraft nehmen. Dieses Beispiel zeigt, wie diese berechnet werden:

8^1/3 + 8^1/3 = 8^2/3

= ∛8²

Da die Kubikwurzel von 8 leicht zu berechnen ist, gehen Sie wie folgt vor:

∛8² = 2² = 4

Das heißt also:

8^1/3 + 8^1/3 = 4

Sie können auch auf Produkte von Bruchexponenten mit unterschiedlichen Zahlen im Nenner der Brüche stoßen, und Sie können diese Exponenten auf die gleiche Weise hinzufügen, wie Sie andere Brüche hinzufügen würden. Zum Beispiel:

X^1/4 × X^1/2 = X^{(1/4 + 1/2)}

= X^{(1/4 + 2/4)}

= X^3/4

Dies sind alles spezifische Ausdrücke der allgemeinen Regel zum Multiplizieren von zwei Ausdrücken mit Exponenten:

X^ein + X^b = X^{(ein + b)}

Regeln für Bruchexponenten: Teilen von Bruchexponenten mit derselben Basis

Bewältigen Sie die Teilung zweier Zahlen mit gebrochenen Exponenten, indem Sie den Exponenten, den Sie teilen (den Divisor), von demjenigen subtrahieren, den Sie teilen (die Dividende). Zum Beispiel:

X^1/2 ÷ X^1/2 = X^{(1/2 – 1/2)}

= X⁰ = 1

Dies ist sinnvoll, da jede durch sich selbst geteilte Zahl gleich eins ist und dies mit dem Standardergebnis übereinstimmt, dass jede auf eine Potenz von 0 erhöhte Zahl gleich eins ist. Das nächste Beispiel verwendet Zahlen als Basis und verschiedene Exponenten:

16^1/2 ÷ 16^1/4 = 16^{(1/2 – 1/4)}

= 16^{(2/4 – 1/4)}

= 16^1/4

= 2

Was Sie auch sehen können, wenn Sie diesen 16 beachten^1/2 = 4 und 16^1/4 = 2.

Wie bei der Multiplikation kann es auch bei Bruchexponenten vorkommen, dass der Zähler eine andere Zahl enthält, die Sie jedoch auf die gleiche Weise behandeln.

Diese drücken einfach die allgemeine Regel zum Teilen von Exponenten aus:

X^ein ÷ X^b = X^{(ein – b)}

Multiplizieren und Dividieren von Bruchexponenten in verschiedene Basen

Wenn die Grundlagen der Terme unterschiedlich sind, gibt es keine einfache Möglichkeit, Exponenten zu multiplizieren oder zu dividieren. Berechnen Sie in diesen Fällen einfach den Wert der einzelnen Terme und führen Sie dann die erforderliche Operation aus. Die einzige Ausnahme ist, wenn der Exponent derselbe ist. In diesem Fall können Sie ihn wie folgt multiplizieren oder dividieren:

X⁴ × y⁴ = (xy)⁴

X⁴ ÷ y⁴ = (x ÷ y)⁴