Inhalt
- Das Gesetz der Sinusse wieder aufgreifen
- Einen fehlenden Winkel mit dem Gesetz der Sinus finden
- Warnungen
- Eine Seite mit dem Gesetz der Sinus finden
"Sinus" ist eine mathematische Abkürzung für das Verhältnis zweier Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks, ausgedrückt als Bruch: Die Seite gegenüber dem Winkel, den Sie messen, ist der Zähler des Bruches, und die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist der Nenner. Sobald Sie dieses Konzept beherrschen, wird es zu einem Baustein für eine Formel, die als Sinusgesetz bekannt ist. Mit ihr können fehlende Winkel und Seiten für ein Dreieck ermittelt werden, sofern Sie mindestens zwei Winkel und eine oder zwei Seiten kennen Seiten und ein Winkel.
Das Gesetz der Sinusse wieder aufgreifen
Das Sinusgesetz besagt, dass das Verhältnis eines Winkels in einem Dreieck zu der ihm gegenüberliegenden Seite für alle drei Winkel eines Dreiecks gleich ist. Oder anders ausgedrückt:
Sünde (A) /ein = sin (B) /b = sin (C) /c, wobei A, B und C die Winkel des Dreiecks sind und a, b und c sind die Längen der Seiten gegenüber diesen Winkeln.
Dieses Formular ist am nützlichsten, um fehlende Winkel zu finden. Wenn Sie das Sinusgesetz verwenden, um die fehlende Länge einer Seite des Dreiecks zu finden, können Sie es auch mit den Sinuswerten im Nenner schreiben:
ein/ sin (A) = b/ sin (B) = c/ sin (C)
Einen fehlenden Winkel mit dem Gesetz der Sinus finden
Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Dreieck mit einem bekannten Winkel - Winkel A misst beispielsweise 30 Grad. Sie kennen auch das Maß von zwei Seiten des Dreiecks: Seite ein, die entgegengesetztem Winkel A ist, misst 4 Einheiten und Seite b Maßnahmen 6 Einheiten.
Geben Sie alle bekannten Informationen in die erste Form des Sinusgesetzes ein, die am besten zum Auffinden fehlender Winkel geeignet ist:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6 = sin (C) /c
Wählen Sie als Nächstes ein Ziel aus. Finden Sie in diesem Fall das Maß für Winkel B.
Das Einrichten des Problems ist so einfach wie das Gleichsetzen des ersten und des zweiten Ausdrucks dieser Gleichung. Im Moment brauchen Sie sich keine Sorgen um die dritte Amtszeit zu machen. Also hast du:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6
Verwenden Sie einen Taschenrechner oder eine Karte, um den Sinus des bekannten Winkels zu ermitteln. In diesem Fall ist sin (30) = 0,5, Sie haben also:
(0.5) / 4 = sin (B) / 6, was vereinfacht:
0,125 = sin (B) / 6
Multiplizieren Sie jede Seite der Gleichung mit 6, um die Sinusmessung des unbekannten Winkels zu isolieren. Dies gibt Ihnen:
0,75 = sin (B)
Finden Sie mit Ihrem Taschenrechner oder einer Tabelle den inversen Sinus oder Arkus des unbekannten Winkels. In diesem Fall beträgt der inverse Sinus von 0,75 ungefähr 48,6 Grad.
Warnungen
Eine Seite mit dem Gesetz der Sinus finden
Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Dreieck mit bekannten Winkeln von 15 und 30 Grad (nennen wir sie A und B) und der Länge der Seite ein, die gegenüber Winkel A ist, ist 3 Einheiten lang.
Wie bereits erwähnt, summieren sich die drei Winkel eines Dreiecks immer zu 180 Grad. Wenn Sie also bereits zwei Winkel kennen, können Sie das Maß des dritten Winkels ermitteln, indem Sie die bekannten Winkel von 180 subtrahieren:
180 - 15 - 30 = 135 Grad
Der fehlende Winkel beträgt also 135 Grad.
Füllen Sie die Informationen, die Sie bereits kennen, mit dem zweiten Formular in das Gesetz der Sinusformel ein (am einfachsten bei der Berechnung einer fehlenden Seite):
3 / sin (15) = b/ sin (30) = c/ sin (135)
Wählen Sie die fehlende Seite aus, deren Länge Sie ermitteln möchten. In diesem Fall ist der Einfachheit halber die Seitenlänge zu ermitteln b.
Um das Problem zu lösen, wählen Sie zwei der im Sinusgesetz angegebenen Sinusrelationen: Diejenige, die Ihr Ziel enthält (Seite b) und die, für die Sie bereits alle Informationen kennen (das ist Seite ein und Winkel A). Setze diese beiden Sinusrelationen gleich:
3 / sin (15) = b/ sin (30)
Jetzt lösen für b. Verwenden Sie zunächst Ihren Taschenrechner oder eine Tabelle, um die Werte von sin (15) und sin (30) zu ermitteln, und geben Sie sie in Ihre Gleichung ein (verwenden Sie für dieses Beispiel den Bruch 1/2 anstelle von 0,5) :
3/0.2588 = b/(1/2)
Beachten Sie, dass Ihr Lehrer Ihnen sagt, wie weit (und ob) Sie Ihre Sinuswerte runden müssen. Möglicherweise werden Sie auch gebeten, den genauen Wert der Sinusfunktion zu verwenden, die im Fall von sin (15) sehr chaotisch ist (√6 - √2) / 4.
Vereinfachen Sie als Nächstes beide Seiten der Gleichung, und denken Sie daran, dass das Teilen durch einen Bruch dasselbe ist wie das Multiplizieren mit der Umkehrung:
11.5920 = 2_b_
Wechseln Sie der Einfachheit halber die Seiten der Gleichung, da die Variablen normalerweise links aufgelistet sind:
2_b_ = 11,5920
Und schließlich beenden Sie die Lösung für b. In diesem Fall müssen Sie nur beide Seiten der Gleichung durch 2 teilen.
b = 5.7960
Die fehlende Seite Ihres Dreiecks ist also 5,7960 Einheiten lang. Sie könnten genauso einfach das gleiche Verfahren anwenden, um die Seite zu lösen cund setzt seinen Ausdruck im Gesetz der Sinus gleich dem Ausdruck für Seite ein, da du die seiten schon vollständig kennst.