Inhalt
- Definitionen und Parameter
- Mittelwert und Standardabweichung der Variablen
- Mittelwert und Standardabweichung des Stichprobenanteils
Die Berechnung eines Stichprobenanteils in der Wahrscheinlichkeitsstatistik ist einfach. Eine solche Berechnung ist nicht nur ein praktisches Hilfsmittel, sondern auch eine nützliche Möglichkeit, um zu veranschaulichen, wie sich Stichprobengrößen in Normalverteilungen auf die Standardabweichungen dieser Stichproben auswirken.
Nehmen wir an, ein Baseballspieler schlägt im Verlauf einer Karriere mit vielen Tausend Platteneinsätzen auf 300, was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Basisschlag erhält, jedes Mal, wenn er einem Pitcher gegenübersteht, 0,3 beträgt. Daraus lässt sich ableiten, wie nahe er bei einer geringeren Anzahl von Plattenerscheinungen an 0,300 stößt.
Definitionen und Parameter
Für diese Probleme ist es wichtig, dass die Stichprobengrößen ausreichend groß sind, um aussagekräftige Ergebnisse zu erzielen. Das Produkt der Stichprobengröße n und die Wahrscheinlichkeit p des betreffenden Ereignisses muss größer oder gleich 10 sein, und in ähnlicher Weise muss das Produkt aus Stichprobengröße und eins minus Die Eintrittswahrscheinlichkeit des Ereignisses muss ebenfalls größer oder gleich 10 sein. In der mathematischen Sprache bedeutet dies, dass np ≥ 10 und n (1 - p) ≥ 10 ist.
Das Probenanteil p̂ ist einfach die Anzahl der beobachteten Ereignisse x geteilt durch die Stichprobengröße n oder p̂ = (x / n).
Mittelwert und Standardabweichung der Variablen
Das bedeuten von x ist einfach np, die Anzahl der Elemente in der Stichprobe multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des Ereignisses. Das Standardabweichung von x ist √np (1 - p).
Kehren wir zum Beispiel des Baseballspielers zurück und nehmen an, dass er in seinen ersten 25 Spielen 100 Plattenauftritte hat. Was sind der Mittelwert und die Standardabweichung der erwarteten Trefferanzahl?
np = (100) (0,3) = 30 und √np (1 - p) = √ (100) (0,3) (0,7) = 10 √ 0,21 = 4,58.
Dies bedeutet, dass ein Spieler, der nur 25 Treffer in seinen 100 Plattenauftritten oder bis zu 35 Treffer erzielt, nicht als statistisch anomal eingestuft wird.
Mittelwert und Standardabweichung des Stichprobenanteils
Das bedeuten von jedem Stichprobenanteil p̂ ist nur p. Das Standardabweichung von p̂ ist √p (1 - p) / √n.
Für den Baseballspieler mit 100 Versuchen auf der Platte ist der Mittelwert einfach 0,3 und die Standardabweichung ist: √ (0,3) (0,7) / √100 oder (√0,21) / 10 oder 0,0458.
Es ist zu beachten, dass die Standardabweichung von p̂ weitaus kleiner ist als die Standardabweichung von x.