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Sobald Sie mit der Lösung algebraischer Gleichungen beginnen, die Polynome beinhalten, wird die Fähigkeit, spezielle, leicht zu faktorisierende Formen von Polynomen zu erkennen, sehr nützlich. Eines der nützlichsten "Easy-Factor" -Polynome zum Erkennen ist das perfekte Quadrat oder das Trinom, das aus dem Quadrieren eines Binoms resultiert. Sobald Sie ein perfektes Quadrat identifiziert haben, ist es oft ein wichtiger Teil des Problemlösungsprozesses, es in seine einzelnen Komponenten zu zerlegen.
Identifizierung von Perfect Square Trinomials
Bevor Sie ein perfektes quadratisches Trinom faktorisieren können, müssen Sie lernen, es zu erkennen. Ein perfektes Quadrat kann zwei Formen annehmen:
Einige Beispiele für perfekte Quadrate, die in der "realen Welt" der mathematischen Probleme auftreten können, sind:
Was ist der Schlüssel zum Erkennen dieser perfekten Quadrate?
Überprüfen Sie den ersten und dritten Term des Trinoms. Sind sie beide Quadrate? Wenn ja, finden Sie heraus, aus welchen Quadraten sie bestehen. Zum Beispiel in der zweiten "realen Welt" Beispiel oben gegeben, y2 - 2_y_ + 1, der Begriff y2 ist offensichtlich das Quadrat von y. Der Ausdruck 1 ist vielleicht weniger offensichtlich das Quadrat von 1, weil 12 = 1.
Multiplizieren Sie die Wurzeln des ersten und dritten Terms miteinander. Um das Beispiel fortzusetzen, das ist y und 1, die dir gibt y × 1 = 1_y_ oder einfach y.
Als nächstes multiplizieren Sie Ihr Produkt mit 2. Wenn Sie das Beispiel fortsetzen, haben Sie 2_y._
Vergleichen Sie abschließend das Ergebnis des letzten Schritts mit dem Mittelwert des Polynoms. Passen sie zusammen? Im Polynom y2 - 2_y_ + 1 tun sie. (Das Vorzeichen ist irrelevant; es wäre auch eine Übereinstimmung, wenn der mittlere Term + 2_y_ wäre.)
Da die Antwort in Schritt 1 "Ja" war und Ihr Ergebnis aus Schritt 2 mit dem Mittelwert des Polynoms übereinstimmt, wissen Sie, dass Sie ein perfektes quadratisches Trinom betrachten.
Faktorisierung eines Perfect Square Trinomial
Sobald Sie wissen, dass Sie ein perfektes quadratisches Trinom betrachten, ist der Prozess der Faktorisierung recht einfach.
Identifizieren Sie die Wurzeln oder die quadrierten Zahlen im ersten und dritten Term des Trinoms. Betrachten Sie eines Ihrer Beispieltrinome, von denen Sie bereits wissen, dass es ein perfektes Quadrat ist. X2 + 8_x_ + 16. Offensichtlich ist die Zahl, die im ersten Term quadriert wird, X. Die im dritten Term quadrierte Zahl ist 4, weil 42 = 16.
Denken Sie zurück an die Formeln für perfekte quadratische Trinome. Sie wissen, dass Ihre Faktoren entweder die Form annehmen (ein + b)(ein + b) oder das Formular (ein – b)(ein – b), wo ein und b sind die Zahlen, die im ersten und dritten Term quadriert werden. So können Sie Ihre Faktoren auf diese Weise aufschreiben und die Zeichen vorerst in der Mitte jedes Terms weglassen:
(ein ? b)(ein ? b) = ein2 ? 2_ab_ + b2
Um das Beispiel fortzusetzen und die Wurzeln Ihres aktuellen Trinoms zu ersetzen, haben Sie:
(X ? 4)(X ? 4) = X2 + 8_x_ + 16
Überprüfen Sie den mittleren Term des Trinoms. Hat es ein positives oder ein negatives Vorzeichen (oder wird es, anders ausgedrückt, addiert oder subtrahiert)? Wenn es ein positives Vorzeichen hat (oder hinzugefügt wird), haben beide Faktoren des Trinoms ein Pluszeichen in der Mitte. Wenn es ein negatives Vorzeichen hat (oder subtrahiert wird), haben beide Faktoren ein negatives Vorzeichen in der Mitte.
Der mittlere Term des aktuellen Beispiel-Trinomials ist 8_x_ - positiv - Sie haben also das perfekte quadratische Trinom berücksichtigt:
(X + 4)(X + 4) = X2 + 8_x_ + 16
Überprüfen Sie Ihre Arbeit, indem Sie die beiden Faktoren miteinander multiplizieren. Wenn Sie FOIL oder die erste, äußere, innere, letzte Methode anwenden, erhalten Sie:
X2 + 4_x_ + 4_x_ + 16
Vereinfachung ergibt das Ergebnis X2 + 8_x_ + 16, passend zu Ihrem Trinomial. Die Faktoren sind also richtig.