Das Faktorisieren von Polynomen hilft Mathematikern, die Nullen oder Lösungen einer Funktion zu bestimmen. Diese Nullen zeigen kritische Änderungen der Anstiegs- und Abnahmeraten an und vereinfachen im Allgemeinen den Analyseprozess. Bei Polynomen des dritten Grades oder höher, dh der höchste Exponent der Variablen ist drei oder höher, kann das Factoring langwieriger werden. In einigen Fällen verkürzen Gruppierungsmethoden die Arithmetik, in anderen Fällen müssen Sie möglicherweise mehr über die Funktion oder das Polynom wissen, bevor Sie mit der Analyse fortfahren können.
Analysieren Sie das Polynom, um das Faktorisieren durch Gruppieren zu berücksichtigen. Wenn das Polynom die Form hat, bei der die Entfernung des größten gemeinsamen Faktors (GCF) aus den ersten beiden Begriffen und den letzten beiden Begriffen einen weiteren gemeinsamen Faktor ergibt, können Sie die Gruppierungsmethode anwenden. Zum Beispiel sei F (x) = x³ - x² - 4x + 4. Wenn Sie den GCF aus den ersten und letzten beiden Gliedern entfernen, erhalten Sie Folgendes: x² (x - 1) - 4 (x - 1). Jetzt können Sie aus jedem Teil (x - 1) herausziehen, um (x² - 4) (x - 1) zu erhalten. Mit der Methode "Differenz der Quadrate" können Sie weiter gehen: (x - 2) (x + 2) (x - 1). Sobald jeder Faktor in seiner besten oder nicht faktoriellen Form vorliegt, sind Sie fertig.
Suchen Sie nach einem Unterschied oder einer Summe von Würfeln. Wenn das Polynom nur zwei Terme mit jeweils einem perfekten Würfel enthält, können Sie es basierend auf bekannten kubischen Formeln faktorisieren. Für Summen gilt (x³ + y³) = (x + y) (x² - xy + y²). Für Differenzen gilt (x³ - y³) = (x - y) (x² + xy + y²). Zum Beispiel sei G (x) = 8x³ - 125. Wenn Sie dieses Polynom dritten Grades faktorisieren, müssen Sie die folgenden Würfelunterschiede berücksichtigen: (2x - 5) (4x² + 10x + 25), wobei 2x die Kubikwurzel von 8x³ ist und 5 ist die Kubikwurzel von 125. Da 4x² + 10x + 25 die Primzahl ist, sind Sie mit dem Faktorisieren fertig.
Prüfen Sie, ob ein GCF eine Variable enthält, die den Grad des Polynoms verringern kann. Wenn beispielsweise H (x) = x³ - 4x ist, erhalten Sie x (x² - 4), wenn Sie den GCF von "x" ausklammern. Anschließend können Sie das Polynom mithilfe der Differenz-Quadrate-Technik in x (x - 2) (x + 2) aufteilen.
Verwenden Sie bekannte Lösungen, um den Grad des Polynoms zu verringern. Zum Beispiel sei P (x) = x³ - 4x² - 7x + 10. Da es keine GCF oder Differenz / Summe von Würfeln gibt, müssen Sie andere Informationen verwenden, um das Polynom zu faktorisieren. Wenn Sie herausfinden, dass P (c) = 0 ist, wissen Sie, dass (x - c) ein Faktor von P (x) ist, der auf dem "Faktorsatz" der Algebra basiert. Finden Sie daher ein solches "c". In diesem Fall ist P (5) = 0, also muss (x - 5) ein Faktor sein. Mit synthetischer oder langer Division erhalten Sie einen Quotienten von (x² + x - 2), der in (x - 1) (x + 2) einfließt. Daher ist P (x) = (x - 5) (x - 1) (x + 2).