Inhalt
- Finden Sie den zentralen Winkel aus Bogenlänge und Umfang
- Finden Sie den zentralen Winkel aus der Bogenlänge und dem Radius
- Der Zentralwinkelsatz
- Ausnahme zum Zentralwinkelsatz
- Visualisieren
Stellen Sie sich vor, Sie stehen mitten in einer perfekt kreisförmigen Arena. Sie blicken auf die Menschenmassen an den Seiten der Arena und sehen Ihren besten Freund auf einem Platz und Ihren Mathematiklehrer in der Mittelschule ein paar Abschnitte weiter. Wie weit sind sie von Ihnen entfernt? Wie weit müssten Sie laufen, um vom Sitz Ihres Freundes zum Sitz Ihres Lehrers zu gelangen? Was sind die Maße der Winkel zwischen Ihnen? Dies sind alles Fragen im Zusammenhang mit zentralen Winkeln.
EIN zentraler Winkel ist der Winkel, der entsteht, wenn zwei Radien vom Mittelpunkt des Kreises zu seinen Rändern gezogen werden. In diesem Beispiel sind die beiden Radien Ihre beiden Sichtlinien von Ihnen im Zentrum der Arena zu Ihrem Freund und Ihre Sichtlinie zu Ihrem Lehrer. Der Winkel, der sich zwischen diesen beiden Linien bildet, ist der zentrale Winkel. Dies ist der Winkel, der dem Mittelpunkt des Kreises am nächsten liegt.
Dein Freund und dein Lehrer sitzen an der Umfang oder die Ränder des Kreises. Der Weg entlang der Arena, der sie verbindet, ist ein Bogen.
Finden Sie den zentralen Winkel aus Bogenlänge und Umfang
Es gibt ein paar Gleichungen, mit denen Sie den zentralen Winkel ermitteln können. Manchmal bekommst du die Bogenlängeder Abstand entlang des Umfangs zwischen zwei Punkten. (Im Beispiel ist dies die Entfernung, die Sie durch die Arena laufen müssten, um von Ihrem Freund zu Ihrem Lehrer zu gelangen.) Die Beziehung zwischen dem zentralen Winkel und der Bogenlänge ist:
(Bogenlänge) ÷ Umfang = (Mittelwinkel) ÷ 360 °
Der zentrale Winkel wird in Grad angegeben.
Diese Formel ist sinnvoll, wenn Sie darüber nachdenken. Die Länge des Bogens aus der Gesamtlänge um den Kreis (Umfang) ist das gleiche Verhältnis wie der Bogenwinkel aus dem Gesamtwinkel in einem Kreis (360 Grad).
Um diese Gleichung effektiv zu verwenden, müssen Sie den Umfang des Kreises kennen. Sie können diese Formel aber auch verwenden, um die Bogenlänge zu ermitteln, wenn Sie den Mittelwinkel und den Umfang kennen. Oder, wenn Sie die Bogenlänge und den Mittelwinkel haben, können Sie den Umfang finden!
Finden Sie den zentralen Winkel aus der Bogenlänge und dem Radius
Sie können auch den Radius des Kreises und die Bogenlänge verwenden, um den zentralen Winkel zu ermitteln. Nennen Sie das Maß des Mittelwinkels θ. Dann:
θ = s ÷ r, wobei s die Bogenlänge und r der Radius ist. θ wird im Bogenmaß gemessen.
Sie können diese Gleichung auch in Abhängigkeit von den verfügbaren Informationen neu anordnen. Die Länge des Bogens ergibt sich aus dem Radius und dem Mittelwinkel. Oder Sie können den Radius finden, wenn Sie den Mittelwinkel und die Bogenlänge haben.
Wenn Sie die Bogenlänge möchten, sieht die Gleichung folgendermaßen aus:
s = θ * rDabei ist s die Bogenlänge, r der Radius und θ der zentrale Winkel im Bogenmaß.
Der Zentralwinkelsatz
Fügen wir Ihrem Beispiel eine Wendung hinzu, in der Sie mit Ihrem Nachbarn und Ihrem Lehrer in der Arena sind. Jetzt gibt es eine dritte Person, die Sie in der Arena kennen: Ihren Nachbarn. Und noch eins: Theyre hinter dir. Sie müssen sich umdrehen, um sie zu sehen.
Ihr Nachbar ist ungefähr gegenüber von Ihrem Freund und Ihrem Lehrer. Aus der Sicht Ihrer Nachbarn ergibt sich ein Winkel, der sich aus der Sichtlinie zum Freund und der Sichtlinie zum Lehrer ergibt. Das nennt man einen eingeschriebenen Winkel. Ein Beschriftungswinkel ist ein Winkel, der durch drei Punkte entlang eines Kreisumfangs gebildet wird.
Der Zentralwinkelsatz erklärt die Beziehung zwischen der Größe des von Ihnen gebildeten Zentralwinkels und dem von Ihrem Nachbarn gebildeten eingeschriebenen Winkel. Das Zentralwinkelsatz besagt, dass Der Mittelwinkel ist doppelt so groß wie der Beschriftungswinkel. (Dies setzt voraus, dass Sie dieselben Endpunkte verwenden. Sie sehen sowohl den Lehrer als auch den Freund an, sonst niemanden.)
Hier ist eine andere Möglichkeit, es zu schreiben. Nennen wir Ihren Freundessitz A, Ihren Lehrersitz B und Ihren Nachbarsitz C. Sie können in der Mitte O sein.
Für drei Punkte A, B und C entlang des Kreisumfangs und den Punkt O in der Mitte ist der zentrale Winkel OCAOC also doppelt so groß wie der eingeschriebene Winkel ∠ABC.
Das ist, ∠AOC = 2∠ABC.
Das macht Sinn. Du bist näher bei dem Freund und dem Lehrer, so dass sie für dich weiter voneinander entfernt sind (ein größerer Winkel). Für Ihren Nachbarn auf der anderen Seite des Stadions sehen sie viel enger zusammen (ein kleinerer Winkel).
Ausnahme zum Zentralwinkelsatz
Lassen Sie uns jetzt die Dinge auf den Kopf stellen. Dein Nachbar auf der anderen Seite der Arena beginnt sich zu bewegen! Sie haben immer noch eine Sichtlinie für den Freund und den Lehrer, aber die Linien und Winkel verschieben sich ständig, wenn sich der Nachbar bewegt. Ratet mal: Solange der Nachbar außerhalb des Bogens zwischen dem Freund und dem Nachbarn bleibt, gilt der zentrale Winkelsatz weiterhin!
Aber was passiert, wenn der Nachbar umzieht? zwischen der Freund und der Lehrer? Jetzt ist dein Nachbar in der kleiner LichtbogenDer relativ geringe Abstand zwischen dem Freund und dem Lehrer im Vergleich zum größeren Abstand um den Rest der Arena. Dann erreichen Sie eine Ausnahme zum Zentralwinkelsatz.
Das Ausnahme zum Zentralwinkelsatz gibt an, dass der eingeschriebene Winkel, wenn sich der Nachbarpunkt C innerhalb des Nebenbogens befindet, die Ergänzung des halben Mittelwinkels ist. (Denken Sie daran, dass ein Winkel und seine Ergänzung zu 180 Grad addieren.)
Damit: Beschriftungswinkel = 180 - (Zentralwinkel ÷ 2)
Oder: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Visualisieren
Math Open Reference verfügt über ein Tool zur Visualisierung des Zentralwinkelsatzes und seiner Ausnahme. Sie können den "Nachbarn" auf alle verschiedenen Teile des Kreises ziehen und beobachten, wie sich die Winkel ändern. Probieren Sie es aus, wenn Sie eine visuelle oder zusätzliche Übung wünschen!