Wie man die Wurzeln eines Polynoms findet

Inhalt

• Wie viele Wurzeln?
• Warnungen
• Finden Sie Wurzeln durch Faktorisierung: Beispiel 1
• Finden Sie Wurzeln durch Faktorisierung: Beispiel 2
• Finden Sie Wurzeln durch grafische Darstellung

Die Wurzeln eines Polynoms werden auch Nullen genannt, weil die Wurzeln die sind X Werte, bei denen die Funktion gleich Null ist. Wenn es darum geht, die Wurzeln zu finden, stehen Ihnen mehrere Techniken zur Verfügung. Factoring ist die am häufigsten verwendete Methode, obwohl auch Grafiken nützlich sein können.

Wie viele Wurzeln?

Untersuchen Sie den Term höchsten Grades des Polynoms - also den Term mit dem höchsten Exponenten. Dieser Exponent gibt an, wie viele Wurzeln das Polynom haben wird. Wenn also der höchste Exponent in Ihrem Polynom 2 ist, hat es zwei Wurzeln. Wenn der höchste Exponent 3 ist, hat er drei Wurzeln. und so weiter.

Warnungen

Finden Sie Wurzeln durch Faktorisierung: Beispiel 1

Die vielseitigste Möglichkeit, Wurzeln zu finden, besteht darin, Ihr Polynom so weit wie möglich zu berücksichtigen und dann jeden Term auf Null zu setzen. Dies ist viel sinnvoller, wenn Sie ein paar Beispiele durchgesehen haben. Betrachten Sie das einfache Polynom X² - 4_x: _

Eine kurze Untersuchung zeigt, dass Sie faktorisieren können X aus beiden Begriffen des Polynoms, die Ihnen gibt:

X(X – 4)

Setzen Sie jeden Term auf Null. Das bedeutet, nach zwei Gleichungen zu lösen:




X = 0 ist der erste Term, der auf Null gesetzt wird, und

X - 4 = 0 ist der zweite Term, der auf Null gesetzt wird.

Sie haben bereits die Lösung für die erste Amtszeit. Wenn X = 0, dann ist der gesamte Ausdruck gleich Null. Damit X = 0 ist eine der Wurzeln oder Nullen des Polynoms.

Betrachten Sie nun den zweiten Term und lösen Sie nach X. Wenn Sie 4 zu beiden Seiten addieren, haben Sie:

X - 4 + 4 = 0 + 4, was vereinfacht:

X = 4. Also wenn X = 4, dann ist der zweite Faktor gleich Null, was bedeutet, dass auch das gesamte Polynom gleich Null ist.

Da das ursprüngliche Polynom zweiten Grades war (der höchste Exponent war zwei), wissen Sie, dass es nur zwei mögliche Wurzeln für dieses Polynom gibt. Sie haben beide bereits gefunden. Alles, was Sie tun müssen, ist sie aufzulisten:

X = 0, X = 4

Finden Sie Wurzeln durch Faktorisierung: Beispiel 2

Hier ist ein weiteres Beispiel, wie man Wurzeln findet, indem man sie unter Verwendung einer ausgefallenen Algebra faktorisiert. Betrachten Sie das Polynom X⁴ - 16. Ein kurzer Blick auf die Exponenten zeigt, dass es für dieses Polynom vier Wurzeln geben sollte. Jetzt ist es Zeit, sie zu finden.

Haben Sie bemerkt, dass dieses Polynom als Differenz der Quadrate umgeschrieben werden kann? Also statt X⁴ - 16 haben Sie:

(X²)² – 4²

Was unter Verwendung der Formel für die Differenz der Quadrate Folgendes ausmacht:

(X² – 4)(X² + 4)

Der erste Term ist wieder ein Unterschied von Quadraten. Obwohl Sie den Begriff rechts nicht weiter faktorisieren können, können Sie den Begriff links noch einen Schritt weiter faktorisieren:

(X – 2)(X + 2)(X² + 4)

Jetzt ist es Zeit, die Nullen zu finden. Es wird schnell klar, dass wenn X = 2 ist der erste Faktor gleich Null und somit ist der gesamte Ausdruck gleich Null.

Ebenso, wenn X = -2, der zweite Faktor ist gleich Null und damit auch der gesamte Ausdruck.

Damit X = 2 und X = -2 sind beide Nullen oder Wurzeln dieses Polynoms.

Aber was ist mit der letzten Amtszeit? Da es einen Exponenten "2" hat, sollte es zwei Wurzeln haben. Aber Sie können diesen Ausdruck nicht mit den reellen Zahlen faktorisieren, die Sie gewohnt sind. Sie müssen ein sehr fortgeschrittenes mathematisches Konzept verwenden, das als imaginäre Zahlen oder, wenn Sie es vorziehen, komplexe Zahlen bezeichnet wird. Das geht weit über den Rahmen Ihrer derzeitigen Mathematikpraxis hinaus, daher ist es jetzt genug zu beachten, dass Sie zwei echte Wurzeln (2 und -2) und zwei imaginäre Wurzeln haben, die Sie undefiniert lassen.

Finden Sie Wurzeln durch grafische Darstellung

Sie können Wurzeln auch durch grafische Darstellung finden oder zumindest schätzen. Jede Wurzel stellt eine Stelle dar, an der der Graph der Funktion die Linie kreuzt X Achse. Also, wenn Sie die Linie grafisch darstellen und dann die X Koordinaten, an denen die Linie die Linie kreuzt X Achse können Sie die geschätzte einfügen X Werte dieser Punkte in Ihre Gleichung und überprüfen Sie, ob Sie sie richtig erhalten haben.

Betrachten Sie das erste Beispiel, das Sie für das Polynom bearbeitet haben X² - 4_x_. Wenn Sie es vorsichtig herausziehen, werden Sie feststellen, dass die Linie das kreuzt X Achse bei X = 0 und X = 4. Wenn Sie jeden dieser Werte in die ursprüngliche Gleichung eingeben, erhalten Sie:

0² - 4 (0) = 0, also X = 0 war eine gültige Null oder Wurzel für dieses Polynom.

4² - 4 (4) = 0, also X = 4 ist auch eine gültige Null oder Wurzel für dieses Polynom. Und weil das Polynom Grad 2 hatte, wissen Sie, dass Sie aufhören können, nach zwei Wurzeln zu suchen.