Inhalt
- Lösen eines Gleichungssystems durch Substitution
- Tipps
- Lösen eines Gleichungssystems durch Eliminierung
- Lösen eines Gleichungssystems durch grafische Darstellung
Das Lösen eines Gleichungssystems scheint zunächst eine sehr entmutigende Aufgabe zu sein. Mit mehr als einer unbekannten Größe, für die der Wert ermittelt werden muss, und anscheinend sehr wenig Möglichkeiten, eine Variable von der anderen zu lösen, kann dies für Menschen, die noch keine Erfahrung mit Algebra haben, zu Kopfschmerzen werden. Es gibt jedoch drei verschiedene Methoden, um die Lösung der Gleichung zu finden, wobei zwei mehr von der Algebra abhängen und ein bisschen zuverlässiger sind und die andere das System in eine Reihe von Linien in einem Diagramm verwandelt.
Lösen eines Gleichungssystems durch Substitution
Lösen Sie ein System simultaner Gleichungen durch Substitution, indem Sie zuerst eine Variable in Bezug auf die andere ausdrücken. Verwenden Sie diese Gleichungen als Beispiel:
X – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Ordnen Sie die einfachste Gleichung, mit der Sie arbeiten möchten, neu an und fügen Sie sie in die zweite ein. In diesem Fall Hinzufügen y zu beiden Seiten der ersten Gleichung gibt:
X = y + 5
Verwenden Sie den Ausdruck für X in der zweiten Gleichung, um eine Gleichung mit einer einzelnen Variablen zu erzeugen. Im Beispiel ergibt dies die zweite Gleichung:
3 × (y + 5) + 2_y_ = 5
3_y_ + 15 + 2_y_ = 5
Sammeln Sie die gleichen Begriffe, um Folgendes zu erhalten:
5_y_ + 15 = 5
Neu arrangieren und lösen für ybeginnend mit dem Subtrahieren von 15 von beiden Seiten:
5_y_ = 5-15 = -10
Das Teilen beider Seiten durch 5 ergibt:
y = −10 ÷ 5 = −2
Damit y = −2.
Fügen Sie dieses Ergebnis in eine der Gleichungen ein, um nach der verbleibenden Variablen zu suchen. Am Ende von Schritt 1 haben Sie Folgendes festgestellt:
X = y + 5
Verwenden Sie den Wert, für den Sie gefunden haben y bekommen:
X = −2 + 5 = 3
Damit X = 3 und y = −2.
Tipps
Lösen eines Gleichungssystems durch Eliminierung
Sehen Sie sich Ihre Gleichungen an, um eine zu entfernende Variable zu finden:
X – y = 5
3_x_ + 2_y_ = 5
Im Beispiel sehen Sie, dass eine Gleichung hat -y und der andere hat + 2_y_. Wenn Sie die erste Gleichung zweimal zur zweiten hinzufügen, wird die y Begriffe würden aufheben und y würde beseitigt werden. In anderen Fällen (z. B. wenn Sie beseitigen wollten X) können Sie auch ein Vielfaches einer Gleichung von der anderen subtrahieren.
Multiplizieren Sie die erste Gleichung mit zwei, um sie für die Eliminierungsmethode vorzubereiten:
2 × (X – y) = 2 × 5
Damit
2_x_ - 2_y_ = 10
Beseitigen Sie die von Ihnen gewählte Variable, indem Sie eine Gleichung zur anderen addieren oder von dieser subtrahieren. Fügen Sie im Beispiel die neue Version der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung hinzu, um Folgendes zu erhalten:
3_x_ + 2_y_ + (2_x_ - 2_y_) = 5 + 10
3_x_ + 2_x_ + 2_y_ - 2_y_ = 15
Das heißt also:
5_x_ = 15
Lösen Sie für die verbleibende Variable. Teilen Sie im Beispiel beide Seiten durch 5, um Folgendes zu erhalten:
X = 15 ÷ 5 = 3
Wie vorher.
Wenn Sie eine Variable haben, können Sie diese wie im vorherigen Ansatz in jeden Ausdruck einfügen und neu anordnen, um die zweite zu finden. Mit der zweiten Gleichung:
3_x_ + 2_y_ = 5
Also seit X = 3:
3 × 3 + 2_y_ = 5
9 + 2_y_ = 5
Subtrahiere 9 von beiden Seiten, um zu erhalten:
2_y_ = 5 - 9 = -4
Teilen Sie abschließend durch zwei, um Folgendes zu erhalten:
y = −4 ÷ 2 = −2
Lösen eines Gleichungssystems durch grafische Darstellung
Lösen Sie Gleichungssysteme mit minimaler Algebra, indem Sie jede Gleichung grafisch darstellen und nach der suchen X und y Wert, bei dem sich die Linien schneiden. Wandle jede Gleichung in eine Steigungsschnittform um (y = mx + b) zuerst.
Die erste Beispielgleichung lautet:
X – y = 5
Dies kann leicht konvertiert werden. Hinzufügen y zu beiden Seiten und dann 5 von beiden Seiten subtrahieren, um zu erhalten:
y = X – 5
Welches hat eine Steigung von m = 1 und a y-Abschnitt von b = −5.
Die zweite Gleichung lautet:
3_x_ + 2_y_ = 5
Subtrahiere 3_x_ von beiden Seiten, um zu erhalten:
2_y_ = −3_x_ + 5
Teilen Sie dann durch 2, um die Steigungsschnittform zu erhalten:
y = -3_x_ / 2 + 5/2
Das hat also eine Steigung von m = -3/2 und a y-Abschnitt von b = 5/2.
Verwenden Sie die y fangen Sie Werte und die Steigungen ab, um beide Linien in einem Diagramm zu zeichnen. Die erste Gleichung kreuzt die y Achse bei y = -5 und die y Der Wert erhöht sich jedes Mal um 1 X Wert um 1 erhöht. Dadurch ist die Linie leicht zu zeichnen.
Die zweite Gleichung kreuzt die y Achse bei 5/2 = 2,5. Es fällt ab und die y Wert verringert sich jedes Mal um 1,5 X Wert erhöht sich um 1. Sie können die y Wert für einen beliebigen Punkt auf der X Achse mit der Gleichung, wenn es einfacher ist.
Suchen Sie den Punkt, an dem sich die Linien schneiden. Dies gibt Ihnen beide die X und y Koordinaten der Lösung zum Gleichungssystem.