Inhalt
- TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
- Über rechte Dreiecke
- Lösen von speziellen rechten Dreiecken
- Das 30-60-90 Dreieck
- Das 45-45-90 Dreieck
- Dreiecksseiten und Proportionen
In Mathe und Geometrie ist eine der Fähigkeiten, die die Experten von den Prätendenten unterscheidet, das Wissen über Tricks und Abkürzungen. Die Zeit, die Sie damit verbringen, sie zu lernen, zahlt sich in der Zeit aus, die Sie beim Lösen von Problemen sparen. Es lohnt sich beispielsweise, zwei spezielle Dreiecke zu kennen, die, sobald Sie sie erkannt haben, schnell gelöst werden können. Die beiden Dreiecke sind insbesondere die 30-60-90 und die 45-45-90.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Zwei spezielle rechtwinklige Dreiecke haben Innenwinkel von 30, 60 und 90 Grad sowie von 45, 45 und 90 Grad.
Über rechte Dreiecke
Dreiecke sind dreiseitige Polygone, deren Innenwinkel 180 Grad betragen. Das rechte Dreieck ist ein Sonderfall, in dem einer der Winkel 90 Grad beträgt. Die anderen beiden Winkel müssen sich per Definition zu 90 addieren. Die Sinus-, Cosinus-, Tangens- und anderen trigonometrischen Funktionen bieten Möglichkeiten zur Berechnung der Innenwinkel von rechten Dreiecken sowie die Länge ihrer Seiten. Ein weiteres unverzichtbares Berechnungswerkzeug für rechtwinklige Dreiecke ist der Satz des Pythagoras, der besagt, dass das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist, oder c2 = a2 + b2.
Lösen von speziellen rechten Dreiecken
Wenn Sie an einem Problem mit einem rechtwinkligen Dreieck arbeiten, erhalten Sie normalerweise mindestens einen Winkel und eine Seite und werden aufgefordert, die verbleibenden Winkel und Seiten zu berechnen. Mit der obigen pythagoreischen Formel können Sie die Länge einer beliebigen Seite berechnen, wenn Sie die beiden anderen erhalten. Ein großer Vorteil der speziellen rechtwinkligen Dreiecke besteht darin, dass die Proportionen der Längen ihrer Seiten immer gleich sind, sodass Sie die Länge aller Seiten finden können, wenn Sie nur eine gegeben haben. Wenn Sie nur eine Seite haben und das Dreieck speziell ist, können Sie auch die Werte der Winkel ermitteln.
Das 30-60-90 Dreieck
Wie der Name schon sagt, hat das rechtwinklige Dreieck 30-60-90 Innenwinkel von 30, 60 und 90 Grad. Infolgedessen fallen die Seiten dieses Dreiecks in die Proportionen 1: 2: √3, wobei 1 und √3 die Längen der gegenüberliegenden und benachbarten Seiten sind und 2 die Hypotenuse ist. Diese Zahlen passen immer zusammen: Wenn Sie die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks lösen und feststellen, dass sie zum Muster 1, 2, √3 passen, wissen Sie, dass die Winkel 30, 60 und 90 Grad betragen. Wenn Sie einen der Winkel mit 30 angeben, wissen Sie, dass die anderen beiden Winkel 60 und 90 sind und dass die Seiten die Proportionen 1: 2: √3 haben.
Das 45-45-90 Dreieck
Das Dreieck 45-45-90 funktioniert ähnlich wie das Dreieck 30-60-90, außer dass zwei Winkel gleich sind, ebenso wie die gegenüberliegenden und benachbarten Seiten. Es hat Innenwinkel von 45, 45 und 90 Grad. Die Proportionen der Seiten des Dreiecks betragen 1: 1: √2, wobei das Verhältnis der Hypotenuse √2 ist. Die beiden anderen Seiten sind gleich lang. Wenn Sie an einem rechtwinkligen Dreieck arbeiten und einer der Innenwinkel 45 Grad beträgt, wissen Sie augenblicklich, dass der verbleibende Winkel ebenfalls 45 Grad betragen muss, da sich das gesamte Dreieck zu 180 Grad addieren muss.
Dreiecksseiten und Proportionen
Denken Sie beim Lösen der beiden speziellen rechten Dreiecke daran, dass es das ist Proportionen von den Seiten, die wichtig sind, nicht ihre Messung in absoluten Zahlen. Zum Beispiel hat ein Dreieck Seiten, die 1 Fuß, 1 Fuß und √2 Fuß messen. Sie wissen also, dass es ein 45-45-90-Dreieck ist und Innenwinkel von 45, 45 und 90 Grad hat.
Aber was machen Sie mit einem rechtwinkligen Dreieck, dessen Seiten √17 Fuß und √17 Fuß messen? Die Proportionen der Seiten sind der Schlüssel. Da beide Seiten identisch sind, beträgt das Verhältnis zueinander 1: 1. Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, beträgt das Verhältnis der Hypotenuse zu beiden anderen Seiten 1: √2. Die gleichen Proportionen weisen darauf hin, dass die Seiten 1, 1, √2 sind, was nur zu dem speziellen Dreieck 45-45-90 gehört. Um die Hypotenuse zu finden, multiplizieren Sie √17 mit √2, um √34 Fuß zu erhalten.