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Geometrie ist eine Sprache, in der algebraisch gemischte Formen und Winkel diskutiert werden. Die Geometrie drückt die Beziehungen zwischen eindimensionalen, zweidimensionalen und dreidimensionalen Figuren in mathematischen Gleichungen aus. Geometrie wird häufig in den Bereichen Ingenieurwesen, Physik und anderen wissenschaftlichen Bereichen eingesetzt. Die Studierenden erhalten Einblick in komplexe wissenschaftliche und mathematische Studien, indem sie lernen, wie geometrische Konzepte entdeckt, begründet und bewiesen werden.
Induktives Denken
Induktives Denken ist eine Form des Denkens, die auf Mustern und Beobachtungen basiert. Wenn induktives Denken für sich genommen verwendet wird, ist es keine genaue Methode, um zu wahren und genauen Schlussfolgerungen zu gelangen. Nehmen wir das Beispiel von drei Freunden: Jim, Mary und Frank. Frank beobachtet die Kämpfe zwischen Jim und Mary. Frank beobachtet, wie Jim und Mary sich während der Woche drei- oder viermal streiten, und jedes Mal, wenn er sie sieht, streiten sie sich. Die Aussage „Jim und Mary kämpfen die ganze Zeit“ ist eine induktive Schlussfolgerung, die durch eine eingeschränkte Beobachtung der Interaktion zwischen Jim und Mary erzielt wird. Induktives Denken kann die Schüler in die Richtung führen, eine gültige Hypothese zu bilden, wie beispielsweise „Jim und Mary kämpfen oft“. Induktives Denken kann jedoch nicht als alleinige Grundlage für den Beweis einer Idee verwendet werden. Induktives Denken erfordert Beobachtung, Analyse, Inferenz (Suche nach einem Muster) und Bestätigung der Beobachtung durch weitere Tests, um zu gültigen Schlussfolgerungen zu gelangen.
Deduktives Denken
Deduktives Denken ist ein schrittweiser, logischer Ansatz, um eine Idee durch Beobachtung und Prüfung zu beweisen. Die deduktive Argumentation beginnt mit einer anfänglichen, nachgewiesenen Tatsache und baut ein Argument nach dem anderen auf, um eine neue Idee zweifellos zu beweisen. Eine Schlussfolgerung, die sich aus deduktiven Überlegungen ergibt, basiert auf kleineren Schlussfolgerungen, die jeweils auf dem Weg zu einer endgültigen Aussage sind.
Axiome und Postulate
Axiome und Postulate werden bei der Entwicklung von Argumenten für induktives und deduktives Denken verwendet. Ein Axiom ist eine Aussage über reelle Zahlen, die als wahr akzeptiert wird, ohne dass ein formaler Beweis erforderlich ist. Beispielsweise ist das Axiom, dass die Zahl drei einen größeren Wert als die Zahl zwei besitzt, ein selbstverständliches Axiom. Ein Postulat ist ähnlich und definiert als eine Aussage über die Geometrie, die ohne Beweis als wahr akzeptiert wird. Ein Kreis ist beispielsweise eine geometrische Figur, die gleichmäßig in 360 Grad unterteilt werden kann. Diese Aussage gilt für jeden Kreis unter allen Umständen. Daher ist diese Aussage ein geometrisches Postulat.
Geometrische Theoreme
Ein Theorem ist das Ergebnis oder die Schlussfolgerung eines genau gebauten deduktiven Arguments und kann das Ergebnis eines gut erforschten induktiven Arguments sein. Kurz gesagt, ein Theorem ist eine Aussage in der Geometrie, die bewiesen wurde, und kann daher als wahre Aussage beim Erstellen logischer Beweise für andere Geometrieprobleme herangezogen werden.Die Aussagen, dass „zwei Punkte eine Linie bestimmen“ und „drei Punkte eine Ebene bestimmen“, sind jeweils geometrische Sätze.