Gesetze der Pendelbewegung

Inhalt

• TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
• Einfache harmonische Bewegung
• Gesetze eines einfachen Pendels
• Einfache Pendelableitung
• Faktoren, die die Pendelbewegung beeinflussen
• Pendellänge Beispiel
• Einfache Pendeldefinition
• Newtonsche Gesetze in Pendel

Pendel haben interessante Eigenschaften, mit denen Physiker andere Objekte beschreiben. Zum Beispiel folgt die Umlaufbahn des Planeten einem ähnlichen Muster und das Schwingen auf einer Schaukel fühlt sich möglicherweise wie auf einem Pendel an. Diese Eigenschaften beruhen auf einer Reihe von Gesetzen, die die Bewegung des Pendels regeln. Wenn Sie diese Gesetze kennenlernen, können Sie beginnen, einige der Grundprinzipien der Physik und der Bewegung im Allgemeinen zu verstehen.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Die Bewegung eines Pendels kann mit beschrieben werden θ (t) = θ_maxcos (2πt / T) in welchem θ stellt den Winkel zwischen der Zeichenfolge und der vertikalen Linie in der Mitte dar, t Zeit darstellt, und T ist die Periode, die Zeit, die erforderlich ist, um einen vollständigen Zyklus der Pendelbewegung durchzuführen (gemessen durch 1 / f), der Bewegung für ein Pendel.

Einfache harmonische Bewegung

Einfache harmonische Bewegungoder eine Bewegung, die beschreibt, wie eine Objektgeschwindigkeit proportional zum Betrag der Verschiebung aus dem Gleichgewicht schwingt, kann verwendet werden, um die Gleichung eines Pendels zu beschreiben. Ein Pendelpendel wird durch diese Kraft in Bewegung gehalten, wenn es sich vor- und zurückbewegt.

••• Syed Hussain Ather

Die Gesetze, die die Pendelbewegung regeln, führten zur Entdeckung einer wichtigen Eigenschaft. Physiker teilen Kräfte in eine vertikale und eine horizontale Komponente auf. In Pendelbewegung Drei Kräfte wirken direkt auf das Pendel: die Masse des Bob, die Schwerkraft und die Spannung in der Saite. Masse und Schwerkraft wirken vertikal nach unten. Da sich das Pendel nicht auf und ab bewegt, werden durch die vertikale Komponente der Saitenspannung die Masse und die Schwerkraft aufgehoben.

Dies zeigt, dass die Masse eines Pendels keine Bedeutung für seine Bewegung hat, die horizontale Saitenspannung jedoch. Eine einfache harmonische Bewegung ähnelt einer kreisförmigen Bewegung. Sie können ein Objekt, das sich auf einer Kreisbahn bewegt, wie in der obigen Abbildung gezeigt beschreiben, indem Sie den Winkel und den Radius bestimmen, den es auf der entsprechenden Kreisbahn einnimmt. Unter Verwendung der Trigonometrie des rechten Dreiecks zwischen dem Kreismittelpunkt, der Objektposition und der Verschiebung in beiden Richtungen x und y können Sie Gleichungen finden x = rsin (θ) und y = rcos (θ).

Die eindimensionale Gleichung eines Objekts in einfacher harmonischer Bewegung ist gegeben durch x = rcos (ωt). Sie können weiter ersetzen EIN zum r in welchem EIN ist der Amplitudedie maximale Verschiebung von der Ausgangsstellung des Objekts.

Die Winkelgeschwindigkeit ω in Bezug auf die Zeit t für diese Winkel θ ist gegeben durch θ = ωt. Wenn Sie die Gleichung einsetzen, die Winkelgeschwindigkeit und Frequenz in Beziehung setzt f, ω = 2πf_ können Sie sich diese Kreisbewegung vorstellen, dann ist als Teil eines Pendels, das vor und zurück schwingt, die resultierende einfache harmonische Bewegungsgleichung _x = A cos (2πft).

Gesetze eines einfachen Pendels

••• Syed Hussain Ather

Pendel wie die Masse einer Feder sind Beispiele dafür einfache harmonische Oszillatoren: Es gibt eine Rückstellkraft, die abhängig von der Verlagerung des Pendels zunimmt und deren Bewegung mit der Taste beschrieben werden kann einfache harmonische Oszillatorgleichung θ (t) = θ_maxcos (2πt / T) in welchem θ stellt den Winkel zwischen der Zeichenfolge und der vertikalen Linie in der Mitte dar, t repräsentiert die Zeit und T ist der Zeitraum, die Zeit, die für einen vollständigen Zyklus der Pendelbewegung erforderlich ist (gemessen von 1 / f), der Bewegung für ein Pendel.

θ_max ist eine andere Möglichkeit, das Maximum zu definieren, mit dem der Winkel während der Pendelbewegung oszilliert, und eine andere Möglichkeit, die Pendelamplitude zu definieren. Dieser Schritt wird weiter unten im Abschnitt "Einfache Pendeldefinition" erläutert.

Eine weitere Implikation der Gesetze eines einfachen Pendels ist, dass die Schwingungsperiode mit konstanter Länge unabhängig von Größe, Form, Masse und Material des Objekts am Ende der Saite ist. Dies wird durch die einfache Pendelableitung und die daraus resultierenden Gleichungen deutlich.

Einfache Pendelableitung

Sie können die Gleichung für a bestimmen einfaches Pendel, die Definition, die von einem einfachen harmonischen Oszillator abhängt, aus einer Reihe von Schritten, die mit der Bewegungsgleichung für ein Pendel beginnen. Da die Schwerkraft eines Pendels der Kraft der Pendelbewegung entspricht, können Sie sie mit dem Newtonschen zweiten Gesetz mit einer Pendelmasse gleichsetzen M, String-Länge LWinkel θ, Schwerkraftbeschleunigung G und Zeitintervall t.

••• Syed Hussain Ather

Sie setzen Newtons zweites Gesetz gleich dem Trägheitsmoment I = mr²_für eine Masse _m und Radius der Kreisbewegung (Länge der Saite in diesem Fall) r mal die Winkelbeschleunigung α.

Es gibt andere Möglichkeiten, eine einfache Pendelableitung vorzunehmen. Verstehe die Bedeutung hinter jedem Schritt, um zu sehen, wie sie zusammenhängen. Mit diesen Theorien können Sie eine einfache Pendelbewegung beschreiben, aber Sie sollten auch andere Faktoren berücksichtigen, die die einfache Pendeltheorie beeinflussen können.

Faktoren, die die Pendelbewegung beeinflussen

Wenn Sie das Ergebnis dieser Herleitung vergleichen θ (t) = θ_maxcos (t (l / g)²) nach der Gleichung eines einfachen harmonischen Oszillators (_θ (t) = θ_maxWenn Sie cos (2πt / T) b_y gleich setzen, können Sie eine Gleichung für die Periode T ableiten.

Beachten Sie, dass diese Gleichung T = 2π (L / g)^-1/2 hängt nicht von der Masse ab M des Pendels, die Amplitude θ_max, noch auf die Zeit t. Das bedeutet, dass die Periode unabhängig von Masse, Amplitude und Zeit ist, sondern von der Länge der Saite abhängt. Es gibt Ihnen eine prägnante Möglichkeit, Pendelbewegungen auszudrücken.

Pendellänge Beispiel

Mit der Gleichung für eine Periode T = 2π (L / g) __^-1/2können Sie die Gleichung neu anordnen, um L = (T / 2_π) zu erhalten² / g_ und ersetze 1 Sek. für T und 9,8 m / s² zum G erhalten L = 0,0025 m. Denken Sie daran, dass diese Gleichungen der einfachen Pendeltheorie davon ausgehen, dass die Länge der Saite reibungs- und masselos ist. Um diese Faktoren zu berücksichtigen, wären kompliziertere Gleichungen erforderlich.

Einfache Pendeldefinition

Sie können das Pendel zurückziehen θ um es hin und her schwingen zu lassen, um es wie eine Feder schwingen zu sehen. Für ein einfaches Pendel können Sie es mit Bewegungsgleichungen eines einfachen harmonischen Oszillators beschreiben. Die Bewegungsgleichung funktioniert gut für kleinere Werte von Winkel und Amplitude, der maximale Winkel, weil das einfache Pendelmodell auf der Näherung beruht, dass sin (θ) ≈ θ für einige Pendelwinkel θ. Wenn die Werte für Winkel und Amplituden größer als etwa 20 Grad werden, funktioniert diese Approximation ebenfalls nicht.

Probieren Sie es aus. Ein Pendel, das mit einem großen Anfangswinkel schwingt θ wird nicht so regelmäßig oszillieren, damit Sie einen einfachen harmonischen Oszillator verwenden können, um es zu beschreiben. In einem kleineren Anfangswinkel θDas Pendel nähert sich viel leichter einer regelmäßigen, oszillierenden Bewegung. Da die Masse eines Pendels keinen Einfluss auf seine Bewegung hat, haben Physiker bewiesen, dass alle Pendel die gleiche Periode für Schwingungswinkel haben - den Winkel zwischen der Mitte des Pendels an seinem höchsten Punkt und der Mitte des Pendels an seiner gestoppten Position - ohne als 20 Grad.

Für alle praktischen Zwecke eines in Bewegung befindlichen Pendels wird das Pendel schließlich aufgrund der Reibung zwischen der Saite und seinem Befestigungspunkt oben sowie aufgrund des Luftwiderstands zwischen dem Pendel und der Luft um es herum abgebremst und zum Stillstand gebracht.

Für praktische Beispiele der Pendelbewegung hängen die Periode und die Geschwindigkeit von der Art des verwendeten Materials ab, das diese Beispiele für Reibung und Luftwiderstand verursachen würde. Wenn Sie Berechnungen zum theoretischen Pendelschwingungsverhalten durchführen, ohne diese Kräfte zu berücksichtigen, wird ein Pendel unendlich schwingen.

Newtonsche Gesetze in Pendel

Newtons erstes Gesetz definiert die Geschwindigkeit von Objekten als Reaktion auf Kräfte. Das Gesetz besagt, dass sich ein Objekt, wenn es sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit und auf einer geraden Linie bewegt, unendlich mit dieser Geschwindigkeit und auf einer geraden Linie weiterbewegt, solange keine andere Kraft auf es einwirkt. Stellen Sie sich vor, Sie werfen einen Ball geradeaus - der Ball würde immer wieder um die Erde laufen, wenn Luftwiderstand und Schwerkraft nicht darauf einwirken würden. Dieses Gesetz zeigt, dass ein Pendel, da es sich seitlich und nicht auf und ab bewegt, keine auf und ab wirkenden Kräfte aufweist.

Das zweite Newtonsche Gesetz wird zum Bestimmen der Nettokraft auf das Pendel verwendet, indem die Gravitationskraft gleich der Kraft der Schnur eingestellt wird, die auf das Pendel zurückgezogen wird. Wenn Sie diese Gleichungen gleich setzen, können Sie die Bewegungsgleichungen für das Pendel ableiten.

Newtons drittes Gesetz besagt, dass jede Handlung eine Reaktion gleicher Kraft hat. Dieses Gesetz arbeitet mit dem ersten Gesetz, das zeigt, dass obwohl die Masse und die Schwerkraft die vertikale Komponente des Saitenspannungsvektors aufheben, nichts die horizontale Komponente aufhebt. Dieses Gesetz zeigt, dass sich die auf ein Pendel wirkenden Kräfte gegenseitig aufheben können.

Physiker beweisen anhand des ersten, zweiten und dritten Newtonschen Gesetzes, dass die horizontale Saitenspannung das Pendel unabhängig von Masse oder Schwerkraft bewegt. Die Gesetze eines einfachen Pendels folgen den Vorstellungen von Newtons drei Bewegungsgesetzen.