Inhalt
- Inverse mathematische Operationen
- Funktionen können invers oder direkt sein
- Zwei Funktionen können eine umgekehrte Beziehung zueinander haben
Sie können inverse Beziehungen in der Mathematik auf drei Arten betrachten. Der erste Weg ist, Operationen zu betrachten, die sich gegenseitig aufheben. Addition und Subtraktion sind die zwei offensichtlichsten Operationen, die sich auf diese Weise verhalten.
Eine zweite Möglichkeit, inverse Beziehungen zu betrachten, besteht darin, die Art der Kurven zu berücksichtigen, die sie erzeugen, wenn Sie Beziehungen zwischen zwei Variablen grafisch darstellen. Wenn die Beziehung zwischen den Variablen direkt ist, nimmt die abhängige Variable zu, wenn Sie die unabhängige Variable erhöhen, und das Diagramm wird in Richtung steigender Werte beider Variablen gekrümmt. Wenn die Beziehung jedoch invers ist, wird die abhängige Variable kleiner, wenn die unabhängige zunimmt, und der Graph wird zu kleineren Werten der abhängigen Variablen hin gekrümmt.
Bestimmte Funktionspaare bieten ein drittes Beispiel für umgekehrte Beziehungen. Wenn Sie Funktionen grafisch darstellen, die auf einer x-y-Achse invers zueinander sind, werden die Kurven in Bezug auf die Linie x = y als Spiegelbilder voneinander angezeigt.
Inverse mathematische Operationen
Addition ist die grundlegendste arithmetische Operation, und sie ist mit einer bösen Zwillingssubtraktion verbunden, die das, was sie tut, rückgängig machen kann. Nehmen wir an, Sie beginnen mit 5 und addieren 7. Sie erhalten 12, aber wenn Sie 7 subtrahieren, bleiben die 5 übrig, mit denen Sie begonnen haben. Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion, und das Nettoergebnis der Addition und Subtraktion derselben Zahl entspricht der Addition von 0.
Eine ähnliche umgekehrte Beziehung besteht zwischen Multiplikation und Division, aber es gibt einen wichtigen Unterschied. Das Nettoergebnis des Multiplizierens und Dividierens einer Zahl mit demselben Faktor ist das Multiplizieren der Zahl mit 1, wodurch sie unverändert bleibt. Diese umgekehrte Beziehung ist nützlich, wenn komplexe algebraische Ausdrücke vereinfacht und Gleichungen gelöst werden sollen.
Ein weiteres Paar inverser mathematischer Operationen erhöht eine Zahl auf einen Exponenten "n" und nimmt die n-te Wurzel der Zahl. Die quadratische Beziehung ist am einfachsten zu betrachten. Wenn Sie 2 quadrieren, erhalten Sie 4, und wenn Sie die Quadratwurzel von 4 ziehen, erhalten Sie 2. Diese umgekehrte Beziehung ist auch nützlich, wenn Sie komplexe Gleichungen lösen.
Funktionen können invers oder direkt sein
Eine Funktion ist eine Regel, die für jede eingegebene Zahl nur ein Ergebnis liefert. Die Menge der eingegebenen Zahlen wird als Domäne der Funktion bezeichnet, und die Menge der Ergebnisse, die die Funktion erzeugt, ist der Bereich. Wenn die Funktion direkt ist, erzeugt eine Domänensequenz aus positiven Zahlen, die größer wird, eine Bereichssequenz aus Zahlen, die ebenfalls größer wird. F (x) = 2x + 2, f (x) = x2 und f (x) = √x sind alle direkten Funktionen.
Eine inverse Funktion verhält sich anders. Wenn die Zahlen in der Domäne größer werden, werden die Zahlen im Bereich kleiner. F (x) = 1 / x ist die einfachste Form einer Umkehrfunktion. Wenn x größer wird, nähert sich f (x) immer mehr 0 an. Grundsätzlich ist jede Funktion mit der Eingangsvariablen im Nenner eines Bruchs und nur im Nenner eine Umkehrfunktion. Andere Beispiele umfassen f (x) = n / x, wobei n eine beliebige Zahl ist, f (x) = n / x und f (x) = n / (x + w), wobei w eine beliebige ganze Zahl ist.
Zwei Funktionen können eine umgekehrte Beziehung zueinander haben
Ein drittes Beispiel für eine inverse Beziehung in der Mathematik sind zwei Funktionen, die zueinander invers sind. Angenommen, Sie geben die Zahlen 2, 3, 4 und 5 in die Funktion y = 2x + 1 ein.Sie erhalten folgende Punkte: (2,5), (3,7), (4,9) und (5,11). Dies ist eine gerade Linie mit Steigung 2 und y-Achsenabschnitt 1.
Kehren Sie nun die Zahlen in den Klammern um, um eine neue Funktion zu erstellen: (5,2), (7,3), (9,4) und (11,5). Der Bereich der ursprünglichen Funktion wird zum Bereich der neuen und der Bereich der ursprünglichen Funktion wird zum Bereich der neuen. Es ist auch eine Linie, aber die Steigung ist 1/2 und der y-Achsenabschnitt ist -1/2. Unter Verwendung der Form y = mx + b einer Linie finden Sie die Gleichung der Linie als y = (1/2) (x - 1). Dies ist die Umkehrung der ursprünglichen Funktion. Sie können es genauso einfach ableiten, indem Sie x und y in der ursprünglichen Funktion vertauschen und es vereinfachen, y links vom Gleichheitszeichen zu finden.