Inhalt
- Das Derivat als Hang
- Die Ableitung einer Potenzfunktion
- Ableitung von einer Potenzreihe
- Derivate aus Tabellen
Eine der wichtigsten Operationen, die Sie in der Analysis ausführen, ist das Auffinden von Derivaten. Die Ableitung einer Funktion wird auch als Änderungsrate dieser Funktion bezeichnet. Wenn zum Beispiel x (t) die Position eines Autos zu irgendeinem Zeitpunkt t ist, dann ist die Ableitung von x, die mit dx / dt geschrieben ist, die Geschwindigkeit des Autos. Die Ableitung kann auch als Steigung einer Linie dargestellt werden, die den Graphen einer Funktion berührt. So finden Mathematiker theoretisch Ableitungen. In der Praxis verwenden Mathematiker Sätze von Grundregeln und Nachschlagetabellen.
Das Derivat als Hang
Die Steigung einer Linie zwischen zwei Punkten ist der Anstieg oder die Differenz der y-Werte geteilt durch den Lauf oder die Differenz der x-Werte. Die Steigung einer Funktion y (x) für einen bestimmten Wert von x ist definiert als die Steigung einer Linie, die die Funktion am Punkt tangiert. Um die Steigung zu berechnen, konstruieren Sie eine Linie zwischen dem Punkt und einem nahe gelegenen Punkt, wobei h eine sehr kleine Zahl ist. Für diese Linie ist der Lauf oder die Änderung des x-Werts h und der Anstieg oder die Änderung des y-Werts ist y (x + h) - y (x). Folglich ist die Steigung von y (x) am Punkt ungefähr gleich / = / h. Um die Steigung genau zu bestimmen, berechnen Sie den Wert der Steigung, wenn h immer kleiner wird, bis zum „Grenzwert“, an dem es auf Null geht. Die auf diese Weise berechnete Steigung ist die Ableitung von y (x), die als y ’(x) oder dy / dx geschrieben wird.
Die Ableitung einer Potenzfunktion
Sie können die Steigungs- / Grenzmethode verwenden, um die Ableitungen von Funktionen zu berechnen, bei denen y gleich x der Potenz von a ist, oder y (x) = x ^ a. Wenn zum Beispiel y gleich xwürfelig ist, ist y (x) = x ^ 3, dann ist dy / dx die Grenze, wenn h auf Null von / h geht. Wenn Sie (x + h) ^ 3 erweitern, erhalten Sie / h, das sich auf 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 verringert, nachdem Sie durch h dividiert haben. In der Grenze, in der h auf Null geht, gehen alle Terme, in denen h enthalten ist, ebenfalls auf Null. Also ist y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Sie können dies für andere Werte als 3 tun und im Allgemeinen können Sie zeigen, dass d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Ableitung von einer Potenzreihe
Viele Funktionen können als sogenannte Potenzreihen geschrieben werden, die die Summe einer unendlichen Anzahl von Termen darstellen, wobei jedes die Form C (n) x ^ n hat, wobei x eine Variable ist, n eine ganze Zahl ist und C ( n) ist eine bestimmte Zahl für jeden Wert von n. Beispielsweise ist die Potenzreihe für die Sinusfunktion Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 + ..., wobei "..." Terme bedeutet, die fortgesetzt werden zur Unendlichkeit. Wenn Sie die Potenzreihen für eine Funktion kennen, können Sie die Ableitung der Potenz x ^ n verwenden, um die Ableitung der Funktion zu berechnen. Beispielsweise ist die Ableitung von Sin (x) gleich 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 + ..., was zufällig die Potenzreihe für Cos (x) ist.
Derivate aus Tabellen
Die Ableitungen von Grundfunktionen wie Potenzen wie x ^ a, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen und Triggerfunktionen werden mit der Steigungs- / Grenzmethode, der Potenzreihenmethode oder anderen Methoden ermittelt. Diese Derivate werden dann in Tabellen aufgelistet. Sie können beispielsweise nachsehen, dass die Ableitung von Sin (x) Cos (x) ist. Wenn komplexe Funktionen Kombinationen der Grundfunktionen sind, benötigen Sie spezielle Regeln wie Kettenregel und Produktregel, die auch in den Tabellen angegeben sind. Beispielsweise verwenden Sie die Kettenregel, um herauszufinden, dass die Ableitung von Sin (x ^ 2) 2xCos (x ^ 2) ist. Sie verwenden die Produktregel, um festzustellen, dass die Ableitung von xSin (x) xCos (x) + Sin (x) ist. Anhand von Tabellen und einfachen Regeln können Sie die Ableitung jeder Funktion finden. Aber wenn eine Funktion extrem komplex ist, greifen Wissenschaftler manchmal auf Computerprogramme zurück, um Hilfe zu erhalten.