Inhalt
- TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
- Cofunktionsidentitäten in Grad:
- Cofunktionsidentitäten im Bogenmaß
- Cofunction Identities Proof
- Cofunktionsrechner
Haben Sie sich jemals gefragt, wie trigonometrische Funktionen wie Sinus und Cosinus zusammenhängen? Sie werden sowohl zur Berechnung von Seiten als auch von Winkeln in Dreiecken verwendet, aber die Beziehung geht noch weiter. Cofunktionsidentitäten Geben Sie uns spezifische Formeln, die zeigen, wie man zwischen Sinus und Cosinus, Tangens und Cotangens sowie Sekant und Cosekant konvertiert.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Der Sinus eines Winkels entspricht dem Cosinus seines Komplements und umgekehrt. Dies gilt auch für andere Funktionen.
Eine einfache Möglichkeit, sich zu merken, welche Funktionen Funktionen sind, besteht darin, dass zwei Triggerfunktionen vorhanden sind Funktionen wenn einer von ihnen das Präfix "co-" vor sich hat. Damit:
Mit dieser Definition können wir zwischen den Kofunktionen hin und her rechnen: Der Wert einer Funktion eines Winkels ist gleich dem Wert der Kofunktion des Komplements.
Das klingt kompliziert, aber anstatt über den Wert einer Funktion im Allgemeinen zu sprechen, verwenden wir ein bestimmtes Beispiel. Das Sinus eines Winkels entspricht dem Kosinus seiner Ergänzung. Gleiches gilt für andere Funktionen: Der Tangens eines Winkels entspricht dem Kotangens seines Komplements.
Denken Sie daran: Zwei Winkel sind Ergänzungen wenn sie sich zu 90 Grad addieren.
Cofunktionsidentitäten in Grad:
(Beachten Sie, dass 90 ° - x ein Winkelkomplement ergibt.)
sin (x) = cos (90 ° - x)
cos (x) = sin (90 ° - x)
tan (x) = Feldbett (90 ° - x)
Kinderbett (x) = Bräune (90 ° - x)
sec (x) = csc (90 ° - x)
csc (x) = sec (90 ° - x)
Cofunktionsidentitäten im Bogenmaß
Denken Sie daran, dass wir Dinge auch in Bezug auf schreiben können BogenmaßDies ist die SI-Einheit zum Messen von Winkeln. Neunzig Grad sind dasselbe wie π / 2 Bogenmaß, daher können wir die Kofunktionsidentitäten auch so schreiben:
sin (x) = cos (π / 2 - x)
cos (x) = sin (π / 2 - x)
tan (x) = cot (π / 2 - x)
cot (x) = tan (π / 2 - x)
sec (x) = csc (π / 2 - x)
csc (x) = sec (π / 2 - x)
Cofunction Identities Proof
Das hört sich alles gut an, aber wie können wir beweisen, dass dies wahr ist? Wenn Sie es selbst an einigen Beispieldreiecken testen, können Sie sich sicher fühlen, aber es gibt auch einen strengeren algebraischen Beweis. Beweisen wir die Cofunktionsidentitäten für Sinus und Cosinus. Wollten im Bogenmaß arbeiten, aber es ist dasselbe wie mit Graden.
Beweis: sin (x) = cos (π / 2 - x)
Greifen Sie zuallererst auf diese Formel zurück, weil Sie sie in unserem Beweis verwenden werden:
cos (A - B) = cos (A) cos (B) + sin (A) sin (B)
Verstanden? OKAY. Beweisen wir nun: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Wir können cos (π / 2 - x) folgendermaßen umschreiben:
cos (π / 2 - x) = cos (π / 2) cos (x) + sin (π / 2) sin (x)
cos (π / 2 - x) = 0 cos (x) + 1 sin (x), weil wir cos (π / 2) = 0 und sin (π / 2) = 1 kennen.
cos (π / 2 - x) = sin (x).
Ta-da! Jetzt beweisen wir es mit Cosinus!
Beweis: cos (x) = sin (π / 2 - x)
Noch eine Explosion aus der Vergangenheit: Erinnerst du dich an diese Formel?
sin (A - B) = sin (A) cos (B) - cos (A) sin (B).
Wollten es benutzen. Beweisen wir nun: cos (x) = sin (π / 2 - x).
Wir können sin (π / 2 - x) folgendermaßen umschreiben:
sin (π / 2 - x) = sin (π / 2) cos (x) - cos (π / 2) sin (x)
sin (π / 2 - x) = 1 cos (x) - 0 sin (x), weil wir sin (π / 2) = 1 und cos (π / 2) = 0 kennen.
sin (π / 2 - x) = cos (x).
Cofunktionsrechner
Probieren Sie ein paar Beispiele aus, wie Sie selbst mit Funktionen arbeiten. Aber wenn Sie nicht weiterkommen, verfügt Math Celebrity über einen Cofunktionsrechner, der schrittweise Lösungen für Cofunktionsprobleme zeigt.
Viel Spaß beim Rechnen!