Wie berechnet man die Unsicherheit?

Inhalt

• TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
• Abschätzung der Messunsicherheit
• Tipps
• Absolute vs. relative Unsicherheiten
• Unsicherheiten addieren und subtrahieren
• Unsicherheiten multiplizieren oder dividieren
• Mit einer Konstanten multiplizieren
• Eine Kraft der Unsicherheit

Die Quantifizierung der Messunsicherheit ist ein wesentlicher Bestandteil der Wissenschaft. Keine Messung kann perfekt sein. Wenn Sie die Grenzen der Genauigkeit Ihrer Messungen kennen, können Sie sicher sein, dass Sie keine ungerechtfertigten Schlussfolgerungen daraus ziehen. Die Grundlagen zur Bestimmung der Unsicherheit sind recht einfach, aber die Kombination zweier unsicherer Zahlen wird komplizierter. Die gute Nachricht ist, dass es viele einfache Regeln gibt, nach denen Sie Ihre Unsicherheiten korrigieren können, unabhängig davon, welche Berechnungen Sie mit den ursprünglichen Zahlen durchführen.

TL; DR (zu lang; nicht gelesen)

Wenn Sie Mengen mit Unsicherheiten addieren oder subtrahieren, addieren Sie die absoluten Unsicherheiten. Wenn Sie multiplizieren oder dividieren, addieren Sie die relativen Unsicherheiten. Wenn Sie mit einem konstanten Faktor multiplizieren, multiplizieren Sie absolute Unsicherheiten mit demselben Faktor oder tun nichts gegen relative Unsicherheiten. Wenn Sie die Potenz einer Zahl mit einer Ungewissheit annehmen, multiplizieren Sie die relative Ungewissheit mit der Zahl in der Potenz.

Abschätzung der Messunsicherheit

Bevor Sie mit Ihrer Messunsicherheit etwas kombinieren oder tun, müssen Sie die Messunsicherheit in Ihrer ursprünglichen Messung bestimmen. Dies beinhaltet oft ein subjektives Urteil. Wenn Sie beispielsweise den Durchmesser einer Kugel mit einem Lineal messen, müssen Sie darüber nachdenken, wie genau Sie die Messung wirklich ablesen können. Sind Sie sicher, dass Sie vom Ballrand aus messen? Wie genau kannst du das Lineal lesen? Dies sind die Arten von Fragen, die Sie bei der Schätzung von Unsicherheiten stellen müssen.

In einigen Fällen können Sie die Unsicherheit leicht abschätzen. Wenn Sie beispielsweise etwas auf einer Waage wiegen, die bis auf 0,1 g genau misst, können Sie mit Sicherheit davon ausgehen, dass die Messunsicherheit ± 0,05 g beträgt. Dies liegt daran, dass ein 1,0-g-Messwert in Wirklichkeit zwischen 0,95 g (aufgerundet) und knapp 1,05 g (abgerundet) liegen kann. In anderen Fällen müssen Sie dies auf der Grundlage mehrerer Faktoren so gut wie möglich einschätzen.

Tipps

Absolute vs. relative Unsicherheiten

Wenn Sie Ihre Unsicherheit in den Einheiten des ursprünglichen Maßes angeben, z. B. 1,2 ± 0,1 g oder 3,4 ± 0,2 cm, erhalten Sie die „absolute“ Unsicherheit. Mit anderen Worten, es wird explizit angegeben, um wie viel die ursprüngliche Messung falsch sein könnte. Die relative Unsicherheit gibt die Unsicherheit als Prozentsatz des ursprünglichen Werts an. Arbeite das aus mit:

Relative Unsicherheit = (absolute Unsicherheit ÷ beste Schätzung) × 100%

Also im obigen Beispiel:

Relative Unsicherheit = (0,2 cm × 3,4 cm) × 100% = 5,9%

Der Wert kann daher mit 3,4 cm ± 5,9% angegeben werden.

Unsicherheiten addieren und subtrahieren

Berechnen Sie die Gesamtunsicherheit, wenn Sie zwei Größen mit eigenen Unsicherheiten addieren oder subtrahieren, indem Sie die absoluten Unsicherheiten addieren. Zum Beispiel:

(3,4 ± 0,2 cm) + (2,1 ± 0,1 cm) = (3,4 + 2,1) ± (0,2 + 0,1) cm = 5,5 ± 0,3 cm

(3,4 ± 0,2 cm) - (2,1 ± 0,1 cm) = (3,4 - 2,1) ± (0,2 + 0,1) cm = 1,3 ± 0,3 cm

Unsicherheiten multiplizieren oder dividieren

Wenn Sie Mengen mit Unsicherheiten multiplizieren oder dividieren, addieren Sie die relativen Unsicherheiten. Zum Beispiel:

(3,4 cm ± 5,9%) × (1,5 cm ± 4,1%) = (3,4 × 1,5) cm² ± (5,9 + 4,1)% = 5,1 cm² ± 10%

(3,4 cm ± 5,9%) ≤ (1,7 cm ± 4,1%) = (3,4 ≤ 1,7) ± (5,9 + 4,1)% = 2,0 ± 10%

Mit einer Konstanten multiplizieren

Wenn Sie eine Zahl mit einer Unsicherheit mit einem konstanten Faktor multiplizieren, hängt die Regel von der Art der Unsicherheit ab. Wenn Sie eine relative Unsicherheit verwenden, bleibt diese gleich:

(3,4 cm ± 5,9%) × 2 = 6,8 cm ± 5,9%

Wenn Sie absolute Unsicherheiten verwenden, multiplizieren Sie die Unsicherheit mit demselben Faktor:

(3,4 ± 0,2 cm) × 2 = (3,4 × 2) ± (0,2 × 2) cm = 6,8 ± 0,4 cm

Eine Kraft der Unsicherheit

Wenn Sie eine Potenz eines Wertes mit einer Unsicherheit annehmen, multiplizieren Sie die relative Unsicherheit mit der Zahl in der Potenz. Zum Beispiel:

(5 cm ± 5%)² = (5² ±) cm² = 25 cm²± 10%

Oder

(10 m ± 3%)³ = 1.000 m³ ± (3 × 3%) = 1.000 m³ ± 9%

Sie folgen der gleichen Regel für Teilleistungen.