Inhalt
- Die Schritte zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke
- Tipps
- Eine Warnung zum Nenner
- Rational Expressions vereinfachen: Beispiele
Bevor Sie beginnen, rationale Ausdrücke zu vereinfachen oder auf andere Weise zu manipulieren, nehmen Sie sich einen Moment Zeit, um zu überprüfen, was der rationale Ausdruck selbst ist: Ein Bruch mit einem Polynom sowohl im Zähler als auch im Nenner. Oder anders ausgedrückt, ein Verhältnis von einem Polynom zum anderen. Sobald Sie einen rationalen Ausdruck identifiziert haben, läuft der Vereinfachungsprozess in drei Schritten ab.
Die Schritte zur Vereinfachung rationaler Ausdrücke
Der Prozess zur Vereinfachung rationaler Funktionen folgt einer relativ einfachen Roadmap. Das erste, was Sie tun müssen, ist, wie Begriffe zu kombinieren, wenn Sie dies bereits getan haben, damit Sie die Polynome klar erkennen können.
Als nächstes faktoriere jedes Polynom. Manchmal müssen Sie nur jeden Begriff ausschreiben. Zum Beispiel ist es klar, dass 4x (was in der Tat ein Polynom ist, obwohl es nur einen Term hat) hat zwei Faktoren: 4 und X. Bei komplizierteren Polynomen ist es jedoch häufig das beste Werkzeug, Muster für bestimmte Arten von Polynomen zu erkennen, die Sie bereits kennen. Wenn Sie beispielsweise Ihre Formeln genauestens beachtet haben, können Sie sich daran erinnern, dass es sich um ein Polynom des Formulars handelt ein2 - b2 Faktoren aus (a + b) (a - b).
Sobald Ihre Polynome vollständig berücksichtigt sind, werden im letzten Schritt alle gemeinsamen Faktoren gelöscht, die sowohl im Zähler als auch im Nenner auftreten. Das Ergebnis ist Ihr vereinfachtes Polynom.
Tipps
Eine Warnung zum Nenner
Sie werden nicht überrascht sein zu hören, dass es hier einen kleinen Haken gibt. In der Regel ist die Domain (oder ein Satz von möglichen X Werte) für Ihren rationalen Ausdruck werden als Menge aller reellen Zahlen angenommen. Wenn jedoch irgendetwas passiert, um den Nenner Ihrer Fraktion auf Null zu setzen, ist das Ergebnis eine undefinierte Fraktion.
Was würde Ihren Nenner zu Null machen? Normalerweise genügt eine kleine Untersuchung, um das herauszufinden. Zum Beispiel, wenn der Nenner Ihres Bruchs auf die Faktoren reduziert wurde (x + 2) (x - 2), dann dann den Wert X = -2 würde den ersten Faktor gleich Null machen, und X = 2 würde den zweiten Faktor gleich Null machen.
Daher müssen diese beiden Werte -2 und 2 aus dem Bereich Ihres rationalen Ausdrucks ausgeschlossen werden. Normalerweise notieren Sie dies mit dem Zeichen "ungleich" oder ≠. Wenn Sie beispielsweise -2 und 2 aus der Domäne ausschließen müssen, schreiben Sie x ≤ -2, 2.
Rational Expressions vereinfachen: Beispiele
Nachdem Sie den Prozess der Vereinfachung rationaler Ausdrücke verstanden haben, sollten Sie sich einige Beispiele ansehen.
Beispiel 1: Vereinfache den rationalen Ausdruck (X2 - 4) / (x2+ 4x + 4)
Es gibt keine ähnlichen Begriffe, die hier kombiniert werden könnten. Sie können diesen ersten Schritt also überspringen. Als nächstes können Sie mit Ihren scharfen Augen und ein wenig Übung erkennen, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner leicht berücksichtigt werden können:
(x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Vielleicht werden Sie das auch bemerken (x + 2) ist ein Faktor sowohl im Zähler als auch im Nenner. Sobald Sie den geteilten Faktor gekündigt haben, haben Sie Folgendes hinterlassen:
(x - 2) / (x + 2)
Sie haben Ihren rationalen Ausdruck so weit wie möglich vereinfacht, aber es gibt noch eine weitere Möglichkeit: Identifizieren Sie alle "Nullen" oder Wurzeln, die zu einem undefinierten Bruch führen würden, damit Sie diese aus der Domäne ausschließen können. In diesem Fall ist es leicht zu erkennen, wann X = -2, der Faktor unten ist gleich Null. Ihr vereinfachter rationaler Ausdruck lautet also tatsächlich:
(x - 2) / (x + 2), x ≤ -2
Beispiel 2: Vereinfache den rationalen Ausdruck x / (x2 - 4x)
Es gibt keine ähnlichen Begriffe zum Kombinieren, daher können Sie durch Prüfung direkt zum Factoring übergehen. Es ist nicht allzu schwer zu erkennen, dass Sie ein Faktor können X aus dem unteren Begriff, der Ihnen gibt:
x / x (x - 4)
Sie können die stornieren X Faktor sowohl vom Zähler als auch vom Nenner, wodurch Sie Folgendes erhalten:
1 / (x - 4)
Jetzt ist Ihr rationaler Ausdruck vereinfacht, aber Sie müssen auch einen notieren X Werte, die zu einem undefinierten Bruch führen würden. In diesem Fall, X = 4 würde einen Wert von Null im Nenner zurückgeben. Ihre Antwort lautet also:
1 / (x - 4), x ≤ 4