Inhalt
- Definition der Absolutwertungleichung
- So lösen Sie eine absolute Wertungleichung
- Absolutwertungleichungen ohne Lösung
- Intervall-Notation
Das Lösen von Absolutwertungleichungen ähnelt dem Lösen von Absolutwertgleichungen, es sind jedoch einige zusätzliche Details zu beachten. Das Lösen von Absolutwertgleichungen ist schon sehr hilfreich, aber es ist in Ordnung, wenn Sie sie auch zusammen lernen!
Definition der Absolutwertungleichung
Zuallererst eine absolute Wertungleichung ist eine Ungleichung, die einen Absolutwertausdruck beinhaltet. Zum Beispiel,
| 5 + X | - 10> 6 ist eine Absolutwertungleichung, da sie ein Ungleichheitszeichen> und einen Absolutwertausdruck | enthält 5 + X |.
So lösen Sie eine absolute Wertungleichung
Das Schritte zum Lösen einer absoluten Wertungleichung ähneln den Schritten zum Lösen einer Absolutwertgleichung:
Schritt 1: Isolieren Sie den Absolutwertausdruck auf einer Seite der Ungleichung.
Schritt 2: Löse die positive "Version" der Ungleichung.
Schritt 3: Lösen Sie die negative "Version" der Ungleichung, indem Sie die Menge auf der anderen Seite der Ungleichung mit −1 multiplizieren und das Ungleichungszeichen spiegeln.
Das ist eine Menge auf einmal, also hier ist ein Beispiel, das Sie durch die Stufen führt.
Löse die Ungleichung für X: | 5 + 5_x_ | - 3> 2.
Dazu erhalten Sie | 5 + 5_x_ | an sich auf der linken Seite der Ungleichung. Alles was Sie tun müssen, ist 3 zu jeder Seite hinzuzufügen:
| 5 + 5_x_ | - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
| 5 + 5_x_ | > 5.
Nun gibt es zwei "Versionen" der Ungleichung, die wir lösen müssen: die positive "Version" und die negative "Version".
Nehmen Sie für diesen Schritt an, dass die Dinge so sind, wie sie aussehen: dass 5 + 5_x_> 5.
| 5 + 5_x_ | > 5 → 5 + 5_x_> 5.
Dies ist eine einfache Ungleichung; Sie müssen nur lösen X wie gewöhnlich. Subtrahieren Sie 5 von beiden Seiten und teilen Sie dann beide Seiten durch 5.
5 + 5_x_> 5
5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (subtrahiere fünf von beiden Seiten)
5_x_> 0
5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (beide Seiten durch fünf teilen)
X > 0.
Nicht schlecht! Eine mögliche Lösung für unsere Ungleichheit ist also die folgende X > 0. Nun, da es sich um absolute Werte handelt, wird seine Zeit als eine andere Möglichkeit betrachtet.
Um dieses nächste Bit zu verstehen, ist es hilfreich, sich zu merken, was Absolutwert bedeutet. Absolutwert misst einen Zahlenabstand von Null. Der Abstand ist immer positiv, so dass 9 Einheiten von Null entfernt sind, aber –9 ist auch neun Einheiten von Null entfernt.
Also | 9 | = 9, aber | −9 | = 9 auch.
Nun zurück zum obigen Problem. Die Arbeit oben hat gezeigt, dass | 5 + 5_x_ | > 5; Mit anderen Worten, der absolute Wert von "etwas" ist größer als fünf. Jetzt ist jede positive Zahl, die größer als fünf ist, weiter von Null entfernt als fünf. Die erste Option war also, dass "etwas", 5 + 5_x_, größer als 5 ist.
Das heißt: 5 + 5_x_> 5.
Das ist das oben in Schritt 2 behandelte Szenario.
Denken Sie jetzt etwas weiter nach. Was ist noch fünf Einheiten von Null entfernt? Gut ist negative fünf. Und alles, was weiter von der negativen Fünf entfernt ist, ist noch weiter von der Null entfernt. Unser "Etwas" könnte also eine negative Zahl sein, die weiter von Null entfernt ist als die negative Fünf. Das heißt, es wäre eine größere Zahl, aber technisch gesehen weniger als negative fünf, weil es sich in der negativen Richtung auf der Zahlenlinie bewegt.
Unser "Etwas", 5 + 5x, könnte also kleiner als -5 sein.
5 + 5_x_ <–5
Der schnelle Weg, dies algebraisch zu tun, besteht darin, die Quantität auf der anderen Seite der Ungleichung 5 mit der negativen zu multiplizieren und dann das Ungleichungszeichen umzudrehen:
| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
Dann wie gewohnt lösen.
5 + 5_x_ <-5
5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (subtrahiere 5 von beiden Seiten)
5_x_ <–10
5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
X < −2.
Die beiden möglichen Lösungen für die Ungleichung sind also X > 0 oder X <-2. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie einige mögliche Lösungen einstecken, um sicherzustellen, dass die Ungleichung weiterhin zutrifft.
Absolutwertungleichungen ohne Lösung
Es gibt ein Szenario, in dem es geben würde Keine Lösungen für eine absolute Wertungleichung. Da absolute Werte immer positiv sind, können sie nicht gleich oder kleiner als negative Zahlen sein.
Also | X | <-2 hat keine Lösung weil das Ergebnis eines Absolutwertausdrucks positiv sein muss.
Intervall-Notation
Um die Lösung für unser Hauptbeispiel in zu schreiben Intervall-NotationDenken Sie darüber nach, wie die Lösung auf der Zahlenlinie aussieht. Unsere Lösung war X > 0 oder X <-2. Auf einer Zahlenlinie ist dies ein offener Punkt bei 0, wobei sich eine Linie nach positiv unendlich erstreckt, und ein offener Punkt bei –2, wobei sich eine Linie nach negativ unendlich erstreckt. Diese Lösungen zeigen voneinander weg und nicht aufeinander zu. Nehmen Sie jedes Stück einzeln.
Für x> 0 auf einer Zahlenlinie gibt es einen offenen Punkt bei Null und dann eine Linie, die sich bis ins Unendliche erstreckt. In der Intervallnotation wird ein offener Punkt mit Klammern () dargestellt, und ein geschlossener Punkt oder Ungleichungen mit ≥ oder ≤ würden eckige Klammern verwenden. So für X > 0, schreibe (0, ∞).
Die andere Hälfte, X <–2, auf einer Zahlenlinie ist ein offener Punkt bei –2 und dann ein Pfeil, der sich bis zu –∞ erstreckt. In Intervallnotation ist das (−∞, −2).
"Oder" in Intervallnotation ist das Vereinigungszeichen, ∪.
Die Lösung in Intervallnotation lautet also (−∞, −2) ∪ (0, ∞).