Inhalt
- TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
- Lineare Ungleichungen algebraisch lösen
- Lineare Ungleichungen grafisch darstellen
- Lösen Sie lineare Ungleichungssysteme
Angenommen, Sie müssen einkaufen gehen und haben ein begrenztes Budget. Sie möchten Nudeln und Brot für eine große Gruppe kaufen, aber Sie können nicht mehr als zwanzig Dollar ausgeben. Theoretisch könnte man nur Brot und keine Nudeln oder viel Brot und nur eine Schachtel Nudeln kaufen. Wie viele verschiedene Kombinationen von Nudelschachteln und Broten können Sie kaufen? Und wie können Sie das Beste aus jedem für Ihr Geld herausholen?
Probleme wie diese werden genannt Lineare Ungleichungen: Gleichungen, deren Graph eine Linie ist, die jedoch anstelle des Gleichheitszeichens Ungleichungssymbole wie> oder <verwenden.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Um eine lineare Ungleichung zu lösen, müssen Sie alle Kombinationen von finden X und y das macht die Ungleichung wahr. Sie können lineare Ungleichungen mit Algebra oder durch grafische Darstellung lösen.
Zu eine lineare Ungleichung lösen (oder eine beliebige Gleichung), müssen Sie alle Kombinationen von finden X und y das macht diese Gleichung wahr.
Sie können lineare Ungleichungen algebraisch lösen oder Sie können die Lösungen in einem Diagramm darstellen (oder beides!). Gehen wir einige Beispielprobleme gemeinsam durch.
Lineare Ungleichungen algebraisch lösen
Dieser Prozess ist fast das gleiche wie das Lösen einer linearen Gleichung, jedoch mit einer wichtigen Ausnahme. Schauen Sie sich das Problem unten an.
−4_x_ - 6> 12 - X
Holen Sie sich zuerst alle X-es auf derselben Seite des Zeichens "größer als". Hinzufügen X nach beiden seiten zum auslöschen der X auf der rechten Seite und nur haben X links.
- 4_x_ (+ X) − 6 > 12 − X (+ X)
−3_x_ - 6> 12.
Fügen Sie nun sechs zu beiden Seiten hinzu:
−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)
−3_x_> 18.
Bisher war dies genau wie jede lineare Gleichung. Aber jetzt ändern sich die Dinge! Wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung durch eine negative Zahl teilen, müssen Sie die Richtung des Ungleichungssymbols ändern.
Also würden wir für −3_x_> 18 beide Seiten durch −3 teilen und dann das> -Zeichen auf ein <-Zeichen setzen.
X < −6
Lineare Ungleichungen grafisch darstellen
Wie wäre es mit Grafik? Wieder ist der Prozess den linearen Gleichungen sehr ähnlich, aber es gibt einen wichtigen Unterschied. Da muss man angeben alle der Kombinationen von X und y Das macht eine Ungleichung wahr, Sie werden die Linie wie gewohnt grafisch darstellen und dann den Abschnitt des Diagramms schattieren, der Ihnen den Rest der möglichen Lösungen bietet.
Wie würden Sie beispielsweise die Ungleichung grafisch darstellen? y <3_x_ + 6?
Zunächst würden Sie feststellen, dass die Ungleichung in ist Steigungsschnittform, was bedeutet, dass wir das verwenden können y-Abschnitt und die Steigung, um die Linie schnell grafisch darzustellen.
Das y-Intercept ist 6, zeichne also einen Punkt bei (0, 6), dann benutze die Tatsache, dass die Steigung 3 ist, um drei Einheiten und eine Einheit nach rechts zu steigen, und zeichne dann einen Punkt. Ihr Punkt sollte bei (1, 9) sein. Um eine Linie ordentlich und hübsch zu machen, ist es schön, drei Punkte zu erzielen. Zeichnen Sie also einen weiteren Punkt, indem Sie bei (1, 9) beginnen und drei Punkte nach oben über eins gehen. Sie erhalten einen Punkt bei (2, 12). Zeichnen Sie nun eine Linie, indem Sie die Punkte verbinden.
Toll! Sie haben gerade die Gleichheit grafisch dargestellt y = 3_x_ + 6, aber denken Sie daran, dass die ursprüngliche Gleichung lautet y <3_x_ + 6. Verwenden Sie diesen einfachen Trick, um den richtigen Teil des Diagramms zu schattieren: wenn die Ungleichung in Steigungsschnittform vorliegt, wenn Sie haben y <, dann alles unter der Linie einfärben. Wenn Sie haben y >, dann alles über der Linie einfärben.
Aber überprüfen Sie es noch einmal! Wenn Sie einen ganzen Abschnitt des Diagramms schattieren, bedeutet dies, dass jeder dieser Punkte die Gleichung erfüllen sollte. Nimm einen zufälligen Punkt, den du beschattet hast, und stecke ihn ein X und y in die ursprüngliche Ungleichung. Wenn es funktioniert, können Sie loslegen.Ist dies nicht der Fall, müssen Sie Ihre grafische Darstellung und / oder Ihre Algebra überprüfen.
Eine letzte Sache: Wenn Sie> oder <haben, muss die Linie in der Grafik gepunktet werden! Wenn die Ungleichung ≥ oder verwendet ≤, Die Linie muss durchgehend sein. Dies zeigt an, ob die Punkte auf der Linie selbst in der Lösung enthalten sind.
Lösen Sie lineare Ungleichungssysteme
Das Lösen eines linearen Ungleichungssystems ist dem Lösen von Gleichungssystemen sehr ähnlich. Grafische Darstellung ist der einfachste Weg, lineare Ungleichungen zu lösen.
Um ein System linearer Ungleichungen grafisch darzustellen, zeichnen Sie Ihre erste Ungleichung wie oben dargestellt und schattieren Sie die Bereiche über oder unter Ihrer Linie. Stellen Sie dann die zweite Ungleichung grafisch dar. Wieder werden Sie alle Abschnitte des Diagramms schattieren, die die Ungleichung wahr machen. Meistens gibt es einen Bereich in der Grafik, den Sie zweimal schattiert haben! Dies ist das Lösung zum System der Ungleichungen, weil es der Abschnitt des Diagramms, in dem beide Ungleichungen zutreffen.