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Ein typisches geometrisches Problem ist die Bestimmung der Fläche eines Quadrats innerhalb eines Kreises, wenn die Länge des Kreisdurchmessers bekannt ist. Der Durchmesser ist eine Linie durch den Mittelpunkt des Kreises, die den Kreis in zwei gleiche Teile schneidet.
Definition
Ein Quadrat ist eine vierseitige Figur, bei der alle vier Seiten gleich lang sind und alle vier Winkel 90-Grad-Winkel sind. Ein beschriftetes Quadrat ist ein Quadrat, das in einem Kreis so gezeichnet ist, dass alle vier Ecken des Quadrats den Kreis berühren.
Vorläufige Zeichnungen
Eine diagonale Linie, die von einer Ecke des beschrifteten Quadrats durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen wird, erreicht die gegenüberliegende Ecke des Quadrats. Diese Linie bildet den Durchmesser des Kreises und teilt das Quadrat gleichzeitig in zwei gleich große Dreiecke - Dreiecke, in denen einer der drei Winkel 90 Grad beträgt.
Lösung
In jedem dieser rechtwinkligen Dreiecke entspricht die Summe der Quadrate der beiden gleichen kürzeren Seiten (die Seiten des Quadrats) dem Quadrat der längsten Seite (dem Durchmesser des Kreises), dessen Wert eine bekannte Größe ist. Diese Formel zeigt, wenn sie richtig gelöst ist, dass eine Seite des Quadrats gleich der Hälfte des Durchmessers des Kreises (dh seines Radius) mal der Quadratwurzel von 2 ist. Weil die Fläche des Quadrats eine seiner Seiten ist, multipliziert mit sich Fläche entspricht dem Quadrat des Radius des Kreises mal 2. Da der Radius des Kreises eine bekannte Größe ist, liefert dies den numerischen Wert für die Fläche des beschrifteten Quadrats.