Wie CG berechnen

Inhalt

• Wie man über den Schwerpunkt schreibt
• Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks?
• Schwerpunktformel für ein Rechteck
• Die Schwerpunktgleichung
• Tricks zur Ermittlung des Schwerpunkts

Bevor wir auf den Schwerpunkt eingehen, nehmen wir einige Parameter an. Zum einen haben Sie es mit einem Objekt zu tun, das sich auf der Erdoberfläche befindet und nicht irgendwo im Weltraum. Und zweitens, dass das Objekt einigermaßen klein ist - sagen wir, kein Raumschiff, das auf der Erde geparkt ist und auf den Start wartet.Sobald alle diese außerirdischen Einflüsse beseitigt sind, können Sie den Schwerpunkt für geometrische Objekte mit einer relativ einfachen Formel berechnen. Aufgrund der gerade festgelegten Bedingungen verwenden Sie dieselbe Formel, um den Schwerpunkt zu ermitteln den Schwerpunkt zu finden.

Wie man über den Schwerpunkt schreibt

Der Schwerpunkt in einer zweidimensionalen Ebene wird üblicherweise durch die Koordinaten (x_cgy_cg) oder manchmal durch die Variablen X und y mit einem Balken darüber. Auch wird der Begriff "Schwerpunkt" manchmal mit cg abgekürzt.

Wie berechnet man den Schwerpunkt eines Dreiecks?

In Ihrem Mathematik- oder Physikbuch befinden sich häufig Diagramme, mit denen Sie den Schwerpunkt bestimmter Zahlen bestimmen können. Für einige gebräuchliche geometrische Formen können Sie jedoch die entsprechende Schwerpunktformel verwenden, um den Schwerpunkt dieser Formen zu ermitteln.

Bei Dreiecken liegt der Schwerpunkt an dem Punkt, an dem sich alle drei Mediane schneiden. Wenn Sie an einem Scheitelpunkt des Dreiecks beginnen und dann eine gerade Linie zum Mittelpunkt der anderen Seite ziehen, ist dies ein Median. Machen Sie dasselbe für die beiden anderen Eckpunkte, und der Punkt, an dem sich alle drei Mediane schneiden, ist der Schwerpunkt des Dreiecks.

Und natürlich gibt es dafür eine Formel. Wenn die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks (x_cgy_cg), so finden Sie seine Koordinaten:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3

Wo (x₁y₁), (X₂y₂) und (x₃y₃) sind die Koordinaten der drei Eckpunkte der Dreiecke. Sie können auswählen, welchem ​​Eckpunkt welche Nummer zugewiesen wird.

Schwerpunktformel für ein Rechteck

Haben Sie bemerkt, dass Sie zum Ermitteln des Schwerpunkts für ein Dreieck nur den Wert der x-Koordinaten und dann den Wert der y-Koordinaten mitteln und die beiden Ergebnisse als Koordinaten für Ihren Schwerpunkt verwenden?

Um den Schwerpunkt eines Rechtecks ​​zu ermitteln, machen Sie genau dasselbe. Nehmen Sie jedoch zur Vereinfachung Ihrer Berechnungen an, dass das Rechteck rechtwinklig zu einer kartesischen Koordinatenebene ausgerichtet ist (also nicht in einem Winkel steht) und dass sich der untere linke Scheitelpunkt am Ursprung des Diagramms befindet. In diesem Fall finden Sie (x_cgy_cg) Für ein Rechteck müssen Sie nur Folgendes berechnen:

X_cg = Breite ÷ 2

y_cg = Höhe ÷ 2

Wenn Sie Ihr Rechteck nicht an den Ursprung der Koordinatenebene verschieben möchten oder es aus irgendeinem Grund nicht genau quadratisch zu den Koordinatenachsen ist, können Sie sich dieser etwas gruseligeren, aber immer noch wirksamen Formel stellen, um alle x-Koordinaten zu mitteln um den Wert von x zu finden_cgund mittle alle y-Koordinaten, um den Wert von y zu finden_cg:

X_cg = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) ÷ 4

y_cg = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) ÷ 4

Die Schwerpunktgleichung

Was ist, wenn Sie den Schwerpunkt für eine Form berechnen müssen, die allen zuerst genannten Annahmen entspricht (im Grunde genommen versuchen Sie nicht, durch Ermitteln des Schwerpunkts für Objekte im Weltraum eine wörtliche Raketenwissenschaft zu betreiben), aber es fällt nicht in eine der folgenden die eben genannten Kategorien oder in die Tabellen auf der Rückseite Ihres Buches? Anschließend können Sie Ihre Form in bekanntere Formen unterteilen und den gemeinsamen Schwerpunkt mithilfe der folgenden Gleichungen ermitteln:

X_cg = (a₁X₁ + a₂X₂ +. . . + a_nX_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

y_cg = (a₁y₁ + a₂y₂ +. . . + a_ny_n) ÷ (a₁ + a₂ +. . . + a_n)

Oder anders ausgedrückt, x_cg entspricht der Fläche des Abschnitts 1 mal seiner Position auf der x-Achse, wird der Fläche des Abschnitts 2 mal seiner Position hinzugefügt usw., bis Sie die Fläche mal der Position aller Abschnitte addiert haben. dividieren Sie dann den gesamten Betrag durch die Gesamtfläche aller Abschnitte. Dann mache dasselbe für y.

F: Wie finde ich den Bereich der einzelnen Abschnitte? Wenn Sie Ihre komplexe oder unregelmäßige Form in vertraute Polygone unterteilen, können Sie standardisierte Formeln verwenden, um Bereiche zu finden. Wenn Sie diese Form beispielsweise in rechteckige Teile geteilt haben, können Sie die Formellänge × Breite verwenden, um die Fläche jedes Teils zu ermitteln.

F: Wo ist der "Ort" der einzelnen Abschnitte? Die Position jedes Abschnitts ist die geeignete Koordinate vom Schwerpunkt dieses Abschnitts. Also, wenn du willst, y₂ (die Position für Segment 2), müssen Sie tatsächlich die y-Koordinate für den Schwerpunkt dieses Segments angeben. Aus diesem Grund unterteilen Sie ein seltsam geformtes Objekt in bekanntere Formen, da Sie die bereits erläuterten Formeln verwenden können, um den Schwerpunkt der einzelnen Formen zu finden, und dann die entsprechenden Koordinaten extrahieren können.

F: Wohin geht meine Form in der Koordinatenebene? Sie können auswählen, wo sich Ihre Form auf der Koordinatenebene befindet. Beachten Sie jedoch, dass sich der Schwerpunkt Ihrer Antwort auf denselben Bezugspunkt bezieht. Am einfachsten platzieren Sie Ihr Objekt im ersten Quadranten Ihres Diagramms, wobei sich die Unterkante an der x-Achse und die linke Kante an der y-Achse befindet, sodass alle x- und y-Werte positiv sind, aber auch klein genug sind überschaubar.

Tricks zur Ermittlung des Schwerpunkts

Wenn Sie sich mit einem einzelnen Objekt beschäftigen, sind manchmal Intuition und ein wenig Logik alles, was Sie brauchen, um seinen Schwerpunkt zu finden. Wenn Sie beispielsweise eine flache Scheibe in Betracht ziehen, ist der Schwerpunkt der Mittelpunkt der Scheibe. In einem Zylinder ist es der Mittelpunkt auf der Zylinderachse. Bei einem Rechteck (oder Quadrat) ist dies der Punkt, an dem die diagonalen Linien zusammenlaufen.

Hier ist Ihnen möglicherweise ein Muster aufgefallen: Wenn das betreffende Objekt eine Symmetrielinie aufweist, befindet sich der Schwerpunkt auf dieser Linie. Und wenn es mehrere Symmetrieachsen hat, liegt der Schwerpunkt dort, wo sich diese Achsen schneiden.

Wenn Sie schließlich versuchen, den Schwerpunkt für ein wirklich komplexes Objekt zu finden, haben Sie zwei Möglichkeiten: Entweder Sie ziehen Ihre besten Kalkülintegrale heraus (siehe Ressourcen für ein Dreifachintegral, das den Schwerpunkt für eine ungleichmäßige Masse darstellt) oder Geben Sie Ihre Daten in einen speziellen Schwerpunktrechner ein. (Ein Beispiel für einen Schwerpunktrechner für funkgesteuerte Flugzeuge finden Sie unter Ressourcen.)