So finden Sie eine Exponentialgleichung mit zwei Punkten

Inhalt

• Warum Exponentialfunktionen wichtig sind
• Von einem Punktepaar zu einem Graphen
• Ein Punkt auf der X-Achse
• Kein Punkt auf der X-Achse
• Ein Beispiel aus der realen Welt

Wenn Sie zwei Punkte kennen, die auf eine bestimmte Exponentialkurve fallen, können Sie die Kurve definieren, indem Sie die allgemeine Exponentialfunktion mit diesen Punkten lösen. In der Praxis bedeutet dies, dass die Punkte für y und x in der Gleichung y = ab eingesetzt werden^X. Die Prozedur ist einfacher, wenn der x-Wert für einen der Punkte 0 ist, was bedeutet, dass der Punkt auf der y-Achse liegt. Wenn keiner der Punkte einen x-Wert von Null hat, ist das Lösen nach x und y etwas komplizierter.

Warum Exponentialfunktionen wichtig sind

Viele wichtige Systeme folgen exponentiellen Wachstums- und Verfallsmustern. Beispielsweise nimmt die Anzahl der Bakterien in einer Kolonie normalerweise exponentiell zu und die Umgebungsstrahlung in der Atmosphäre nach einem nuklearen Ereignis nimmt normalerweise exponentiell ab. Durch Aufnehmen von Daten und Zeichnen einer Kurve können Wissenschaftler besser Vorhersagen treffen.

Von einem Punktepaar zu einem Graphen

Jeder Punkt in einem zweidimensionalen Graphen kann durch zwei Zahlen dargestellt werden, die normalerweise in der Form (x, y) geschrieben sind, wobei x den horizontalen Abstand vom Ursprung und y den vertikalen Abstand darstellt. Zum Beispiel ist der Punkt (2, 3) zwei Einheiten rechts von der y-Achse und drei Einheiten über der x-Achse. Andererseits ist der Punkt (-2, -3) zwei Einheiten links von der y-Achse. und drei Einheiten unterhalb der x-Achse.

Wenn Sie zwei Punkte haben, (x₁y₁) und (x₂y₂) können Sie die Exponentialfunktion definieren, die durch diese Punkte verläuft, indem Sie sie in die Gleichung y = ab einsetzen^X und lösen für a und b. Im Allgemeinen müssen Sie dieses Gleichungspaar lösen:

y₁ = ab^x1 Andy₂ = ab^x2, .

In dieser Form sieht die Mathematik etwas kompliziert aus, aber nach einigen Beispielen sieht es weniger kompliziert aus.

Ein Punkt auf der X-Achse

Wenn einer der x-Werte - sagen Sie x₁ - 0 ist, wird die Operation sehr einfach. Zum Beispiel ergibt das Lösen der Gleichung für die Punkte (0, 2) und (2, 4):

2 = ab⁰ und 4 = ab². Da wir wissen, dass b⁰ = 1, die erste Gleichung wird zu 2 = a. Einsetzen von a in die zweite Gleichung ergibt 4 = 2b², die wir vereinfachen, um b² = 2 oder b = Quadratwurzel von 2, was ungefähr 1,41 entspricht. Die definierende Funktion ist dann y = 2 (1,41)^X.

Kein Punkt auf der X-Achse

Wenn keiner der x-Werte Null ist, ist das Lösen des Gleichungspaars etwas umständlicher. Henochmath führt uns durch ein einfaches Beispiel, um diesen Vorgang zu verdeutlichen. In seinem Beispiel wählte er das Punktepaar (2, 3) und (4, 27). Dies ergibt das folgende Gleichungspaar:

27 = ab⁴

3 = ab²

Wenn Sie die erste Gleichung durch die zweite dividieren, erhalten Sie

9 = b²

also b = 3. Es ist möglich, dass b auch gleich -3 ist, aber in diesem Fall nehmen wir an, dass es positiv ist.

Sie können diesen Wert für b in beiden Gleichungen einsetzen, um a zu erhalten. Es ist einfacher, die zweite Gleichung zu verwenden, also:

3 = a (3)² was vereinfacht werden kann zu 3 = a9, a = 3/9 oder 1/3.

Die Gleichung, die diese Punkte durchläuft, kann als geschrieben werden y = 1/3 (3)^X.

Ein Beispiel aus der realen Welt

Seit 1910 ist das Bevölkerungswachstum exponentiell und durch die Erstellung einer Wachstumskurve können Wissenschaftler die Zukunft besser vorhersagen und planen. Im Jahr 1910 betrug die Weltbevölkerung 1,75 Milliarden und im Jahr 2010 6,87 Milliarden. Ausgehend von 1910 ergibt sich das Punktepaar (0, 1,75) und (100, 6,87). Da der x-Wert des ersten Punktes Null ist, können wir leicht a finden.

1,75 = ab⁰ oder a = 1,75. Wenn dieser Wert zusammen mit dem des zweiten Punkts in die allgemeine Exponentialgleichung eingefügt wird, ergibt sich 6,87 = 1,75b¹⁰⁰Dies ergibt den Wert von b als hundertste Wurzel von 6,87 / 1,75 oder 3,93. So wird die Gleichung y = 1,75 (hundertste Wurzel von 3,93)^X. Obwohl dies mehr als ein Rechenschieber erfordert, können Wissenschaftler diese Gleichung verwenden, um zukünftige Bevölkerungszahlen zu projizieren und Politikern in der Gegenwart dabei zu helfen, geeignete Richtlinien zu erstellen.