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Wenn Sie ein Polynom oder Trinom berücksichtigen, können Sie es als Produkt ausdrücken. Das Faktorisieren von Polynomen und Trinomen ist wichtig, wenn Sie nach Nullen suchen. Factoring erleichtert nicht nur das Finden der Lösung, da diese Ausdrücke auch Exponenten enthalten, gibt es möglicherweise mehr als eine Lösung. Es gibt verschiedene Ansätze zur Faktorisierung von Polynomen und Trinomen, und der verwendete Ansatz wird variieren. Diese Methoden umfassen das Finden des größten gemeinsamen Faktors, das Faktorisieren durch Gruppieren und die FOIL-Methode.
Größter gemeinsamer Teiler
Suchen Sie nach dem größten gemeinsamen Faktor (falls vorhanden), bevor Sie ein Polynom oder Trinom berücksichtigen. Im Allgemeinen ist der schnellste Weg, dies zu tun, die Primfaktorisierung, dh die Verwendung von Primzahlen, um die Zahl als Produkt auszudrücken. In einigen Polynomen kann der größte gemeinsame Faktor auch die Variable enthalten.
Betrachten Sie die Zahlen 20 und 30. Die Primfaktorisierung von 20 ist 2 x 2 x 5 und die Primfaktorisierung von 30 ist 2 x 3 x 5. Die gemeinsamen Faktoren sind zwei und fünf. Zwei mal fünf ist gleich 10, also ist 10 der größte gemeinsame Faktor.
Überprüfen Sie das Ergebnis der Faktorisierung durch Multiplikation. Sie können den Ausdruck 7x ^ 2 + 14 bis 7 (x ^ 2 + 2) faktorisieren. Wenn diese Faktorisierung multipliziert wird, kehrt sie zum ursprünglichen Ausdruck 7x ^ 2 + 14 zurück und ist daher korrekt.
Gruppierung
Bestimmte Polynome mit vier Termen durch Gruppieren faktorisieren.
Betrachten Sie das Polynom x ^ 3 + x ^ 2 + 2x + 2, in dem es keinen anderen Faktor gibt als einen, der allen Begriffen gemeinsam ist.
Faktor x ^ 3 + x ^ 2 und 2x + 2 getrennt: x ^ 3 + x ^ 2 = x ^ 2 (x + 1) und 2x + 2 = 2 (x + 1). Somit ist x ^ 3 + x ^ 2 + 2x + 2 = x ^ 2 (x + 1) + 2 (x + 1) = (x ^ 2 + 2) (x + 1). Im letzten Schritt wird x + 1 herausgerechnet, da dies ein gemeinsamer Faktor ist.
Die FOIL-Methode
Faktorentrinome vom Typ ax ^ 2 + bx + c nach der FOIL - first, outer, inner, last - Methode. Ein faktoriertes Trinom besteht aus zwei Binomialen. Zum Beispiel ist der Ausdruck (x + 2) (x + 5) = x ^ 2 + 5x + 2x + 2 (5) = x ^ 2 + 7x + 10. Wenn der führende Koeffizient a eins ist, ist der Koeffizient b, ist die Summe der konstanten Terme der Binome - in diesem Fall zwei und fünf - und der konstante Term des Trinoms, c, ist das Produkt dieser Terme.
Zählen Sie den größten gemeinsamen Faktor heraus, wenn es einen gibt. Finde zwei Faktoren von a und erstelle eine Liste aller möglichen Faktoren, bevor du fortfährst, wenn a nicht eine oder eine Primzahl ist. Multiplizieren Sie jede Zahl mit x. Dies sind die ersten Glieder jedes Binoms. In vielen Trinomen ist der Koeffizient a gleich 1. Betrachten Sie das Beispiel 3x ^ 2 - 10x - 8. Es gibt keinen gemeinsamen Faktor, und die einzigen Möglichkeiten für die ersten Terme sind 3x und x. Dies liefert die ersten Glieder der Binome: (3x +) (x +).
Suchen Sie die letzten Terme der Binome, indem Sie multiplizieren, um eine Zahl gleich c zu finden. Im obigen Beispiel sollten die letzten Terme ein Produkt von -8 haben. Es gibt eine Reihe von Faktorisierungen für -8, einschließlich 8 und -1 und 2 und -4. Machen Sie eine Liste aller möglichen Faktoren, bevor Sie fortfahren.
Suchen Sie nach äußeren und inneren Produkten, die sich aus den obigen Schritten ergeben, für die die Summe bx ist. Testen Sie die im vorherigen Schritt gefundenen Faktoren mit Versuch und Irrtum. Überprüfen Sie die Antwort, indem Sie mit der FOIL-Methode multiplizieren. (3x + 2) (x - 4) = 3x ^ 2 - 12x + 2x - 8 = 3x ^ 2 - 10x - 8