Inhalt
- TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
- Standardabweichung vs. Stichprobenstandardabweichung
- Ermitteln der Standardabweichung der Stichprobe
- Mittlere Abweichung vs. Standardabweichung
Statistische Tests wie der t-Test ist grundsätzlich abhängig vom Konzept einer Standardabweichung. Jeder Student in Statistik oder Naturwissenschaften verwendet regelmäßig Standardabweichungen und muss verstehen, was dies bedeutet und wie man es aus einem Datensatz findet. Zum Glück benötigen Sie nur die Originaldaten. Auch wenn die Berechnungen bei vielen Daten sehr mühsam sein können, sollten Sie in diesen Fällen Funktionen oder Tabellenkalkulationsdaten verwenden, um sie automatisch auszuführen. Um das Schlüsselkonzept zu verstehen, müssen Sie jedoch nur ein grundlegendes Beispiel anzeigen, das Sie mühelos von Hand erarbeiten können. Im Kern misst die Standardabweichung der Stichprobe, wie stark die von Ihnen gewählte Menge in der gesamten Grundgesamtheit auf der Grundlage Ihrer Stichprobe variiert.
TL; DR (zu lang; nicht gelesen)
Verwenden n Stichprobengröße zu bedeuten, μ für den Mittelwert der Daten, Xich für jeden einzelnen Datenpunkt (von ich = 1 bis ich = n) und Σ als Summationszeichen die Stichprobenvarianz (s2) ist:
s2 = (Σ Xich – μ)2 / (n − 1)
Und die Standardabweichung der Stichprobe ist:
s = √s2
Standardabweichung vs. Stichprobenstandardabweichung
In der Statistik geht es darum, Schätzungen für die gesamte Bevölkerung auf der Grundlage kleinerer Stichproben aus der Bevölkerung vorzunehmen und dabei etwaige Unsicherheiten bei der Schätzung zu berücksichtigen. Standardabweichungen quantifizieren das Ausmaß der Variation in der untersuchten Population. Wenn Sie versuchen, die durchschnittliche Höhe zu ermitteln, erhalten Sie eine Gruppe von Ergebnissen um den Mittelwert (den Durchschnittswert). Die Standardabweichung beschreibt die Breite der Gruppe und die Verteilung der Höhen über die Grundgesamtheit.
Die Standardabweichung „Stichprobe“ schätzt die wahre Standardabweichung für die gesamte Bevölkerung anhand einer kleinen Stichprobe aus der Bevölkerung. In den meisten Fällen können Sie nicht die gesamte betroffene Grundgesamtheit abtasten. Daher ist die Standardabweichung der Stichprobe häufig die richtige Version.
Ermitteln der Standardabweichung der Stichprobe
Sie benötigen Ihre Ergebnisse und die Nummer (n) von Personen in Ihrer Stichprobe. Berechnen Sie zunächst den Mittelwert der Ergebnisse (μ) durch Addition aller Einzelergebnisse und anschließende Division durch die Anzahl der Messungen.
Beispielsweise sind die Herzfrequenzen (in Schlägen pro Minute) von fünf Männern und fünf Frauen:
71, 83, 63, 70, 75, 69, 62, 75, 66, 68
Was zu einem Mittelwert von:
μ = (71 + 83 + 63 + 70 + 75 + 69 + 62 + 75 + 66 + 68) ÷ 10
= 702 ÷ 10 = 70.2
Im nächsten Schritt wird der Mittelwert von jeder einzelnen Messung abgezogen und das Ergebnis quadriert. Als Beispiel für den ersten Datenpunkt:
(71 – 70.2)2 = 0.82 = 0.64
Und zum zweiten:
(83 – 70.2)2 = 12.82 = 163.84
Sie fahren auf diese Weise mit den Daten fort und addieren diese Ergebnisse. Für die Beispieldaten lautet die Summe dieser Werte also:
0.64 + 163.84 +51.84 + 0.04 + 23.04 + 1.44 + 67.24 +23.04 + 17.64 + 4.84 = 353.6
Die nächste Stufe unterscheidet zwischen der Stichprobenstandardabweichung und der Populationsstandardabweichung. Für die Stichprobenabweichung dividieren Sie dieses Ergebnis durch die Stichprobengröße minus eins (n −1). In unserem Beispiel n = 10, also n – 1 = 9.
Dieses Ergebnis gibt die mit bezeichnete Stichprobenvarianz an s2, was für das Beispiel ist:
s2 = 353.6 ÷ 9 = 39.289
Die Probenstandardabweichung (s) ist nur die positive Quadratwurzel dieser Zahl:
s = √39.289 = 6.268
Wenn Sie die Populationsstandardabweichung berechnet haben (σ) der einzige Unterschied ist, dass Sie durch teilen n eher, als n −1.
Die gesamte Formel für die Standardabweichung der Stichprobe kann mit dem Summationssymbol Σ ausgedrückt werden, wobei sich die Summe über die gesamte Stichprobe erstreckt Xich vertritt die i_th Ergebnis von _n. Die Stichprobenvarianz beträgt:
s2 = (Σ Xich – μ)2 / (n − 1)
Und die Standardabweichung der Stichprobe ist einfach:
s = √s2
Mittlere Abweichung vs. Standardabweichung
Die mittlere Abweichung weicht geringfügig von der Standardabweichung ab. Anstatt die Differenzen zwischen dem Mittelwert und jedem Wert zu quadrieren, nehmen Sie stattdessen einfach die absolute Differenz (ohne Berücksichtigung von Minuszeichen) und ermitteln dann den Durchschnitt dieser. Für das Beispiel im vorherigen Abschnitt geben der erste und der zweite Datenpunkt (71 und 83) Folgendes an:
X1 – μ = 71 – 70.2 = 0.8
X2 – μ = 83 – 70.2 = 12.8
Der dritte Datenpunkt ergibt ein negatives Ergebnis
X3 – μ = 63 – 70.2 = −7.2
Aber Sie entfernen einfach das Minuszeichen und nehmen dies als 7.2.
Die Summe von all diesen ergibt geteilt durch n gibt die mittlere Abweichung an. Im Beispiel:
(0.8 + 12.8 + 7.2 + 0.2 + 4.8 + 1.2 + 8.2 + 4.8 + 4.2 + 2.2) ÷ 10 = 46.4 ÷ 10 = 4.64
Dies unterscheidet sich erheblich von der zuvor berechneten Standardabweichung, da keine Quadrate und Wurzeln verwendet werden.