Inhalt
- Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren: Was sie bedeuten
- So berechnen Sie Eigenwerte
- Tipps
- Eigenvektoren finden
Wenn Sie eine Matrix in einem Mathematik- oder Physikkurs erhalten, werden Sie häufig aufgefordert, ihre Eigenwerte zu ermitteln. Wenn Sie sich nicht sicher sind, was das bedeutet oder wie es zu tun ist, ist die Aufgabe gewaltig und es sind viele verwirrende Terminologien erforderlich, die die Sache noch schlimmer machen. Das Berechnen von Eigenwerten ist jedoch keine allzu große Herausforderung, wenn Sie mit dem Lösen quadratischer (oder polynomieller) Gleichungen vertraut sind, sofern Sie die Grundlagen von Matrizen, Eigenwerten und Eigenvektoren kennen.
Matrizen, Eigenwerte und Eigenvektoren: Was sie bedeuten
Matrizen sind Arrays von Zahlen, wobei A für den Namen einer generischen Matrix steht.
( 1 3 )
EIN = ( 4 2 )
Die Zahlen in jeder Position variieren und es kann sogar algebraische Ausdrücke an ihrer Stelle geben. Dies ist eine 2 × 2-Matrix, sie gibt es jedoch in verschiedenen Größen und sie haben nicht immer die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten.
Der Umgang mit Matrizen unterscheidet sich vom Umgang mit gewöhnlichen Zahlen, und es gibt spezielle Regeln für das Multiplizieren, Teilen, Addieren und Subtrahieren von Matrizen. Die Begriffe "Eigenwert" und "Eigenvektor" werden in der Matrixalgebra verwendet, um zwei charakteristische Größen in Bezug auf die Matrix zu bezeichnen. Dieses Eigenwertproblem hilft Ihnen zu verstehen, was der Begriff bedeutet:
EIN ∙ v = λ ∙ v
EIN ist eine allgemeine Matrix wie zuvor, v ist ein Vektor und λ ist ein charakteristischer Wert. Schauen Sie sich die Gleichung an und beachten Sie, dass Sie die Matrix mit dem Vektor multiplizieren vwird derselbe Vektor reproduziert, der gerade mit dem Wert λ multipliziert wurde. Dies ist ein ungewöhnliches Verhalten und bringt den Vektor ein v und Quantität λ spezielle Namen: der Eigenvektor und der Eigenwert. Dies sind charakteristische Werte der Matrix, da durch Multiplikation der Matrix mit dem Eigenvektor der Vektor bis auf die Multiplikation mit einem Faktor des Eigenwerts unverändert bleibt.
So berechnen Sie Eigenwerte
Wenn Sie in irgendeiner Form das Eigenwertproblem für die Matrix haben, ist es einfach, den Eigenwert zu finden (da das Ergebnis ein Vektor ist, der mit dem ursprünglichen Vektor identisch ist, außer multipliziert mit einem konstanten Faktor - dem Eigenwert). Die Antwort wird durch Lösen der charakteristischen Gleichung der Matrix gefunden:
det (EIN – λich) = 0
Wo ich ist die Identitätsmatrix, die leer ist, abgesehen von einer Reihe von Einsen, die diagonal entlang der Matrix verlaufen. "Det" bezieht sich auf die Determinante der Matrix, die für eine allgemeine Matrix:
(a b)
EIN = (c d)
Ist gegeben durch
det EIN = ad - bc
Die charakteristische Gleichung bedeutet also:
(a - λ b)
det (EIN – λich) = (cd - λ) = (a - λ) (d - λ) - bc = 0
Definieren wir als Beispielmatrix EIN wie:
( 0 1 )
EIN = (−2 −3 )
Das bedeutet also:
det (EIN – λich) = (0 – λ)(−3 – λ)− (1 ×−2)= 0
= −λ (−3 – λ) + 2
= λ2 + 3 λ + 2 = 0
Die Lösungen für λ sind die Eigenwerte, und Sie lösen dies wie jede quadratische Gleichung. Die Lösungen sind λ = -1 und λ = -2.
Tipps
Eigenvektoren finden
Das Finden der Eigenvektoren ist ein ähnlicher Prozess. Mit der Gleichung:
(EIN – λ) ∙ v = 0
mit jedem der Eigenwerte, die Sie der Reihe nach gefunden haben. Das heisst:
(a - λ b) (v1 ) (a - λ) v1 + b v2 (0)
(EIN – λ) ∙ v = (c d - λ) ∙ (v2 ) = c v1 + (d - λ) v2 = (0)
Sie können dies lösen, indem Sie jede Zeile der Reihe nach betrachten. Sie brauchen nur das Verhältnis von v1 zu v2, weil es unendlich viele mögliche Lösungen für gibt v1 und v2.